5 はずれるまでやる場合

ついでに、はずれるまでやる場合も計算してみる。 つまり、1 回でもはずれたらそこでやめるとする。 無限に続ける場合の期待値 $E_4$ は 2 節と同様に考えれば、

$$\begin{eqnarray*}E_4 &=& q(-B)+pq(A-B)+p^2q(2A-B)+\cdots +p^nq(nA-B)+\cdots \... ...s = -B+\frac{pA}{1-p} = \frac{pA}{q}-B &=& \frac{E_0}{q}\end{eqnarray*}$$

$N$ 回でやめる場合の期待値 $E_5$ は、

$$\begin{eqnarray*}E_5 &=& q(-B)+pq(A-B)+p^2q(2A-B)+\cdots +p^{N-1}q\{(N-1)A-B\}... ...= \left(\frac{pA}{q}-B\right)(1-p^N) &=& \frac{1-p^N}{q}E_0\end{eqnarray*}$$

となる。