4 y2 の一般の場合
この節では、3 節と同様にして、
一般の
に対する
を考えてみることにする。
に対し、
![\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_2=k\}
&=&
\mathrm{Prob}\{\lfloor p_2L\rfloor...
...2<k/L\}
\ &=&
\mathrm{Prob}\{(k-1)(R_M+1)/L\leq x<k(R_M+1)/L\}\end{eqnarray*}](img58.gif)
となり、
,
なので、
補題 1 により
![\begin{displaymath}
\mathrm{Prob}\{y_2=k\}=\frac{1}{R_M+1}\left\{
\left\lceil\...
...t\rceil
-\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil
\right\}\end{displaymath}](img61.gif) |
(15) |
となる。今、(15) の分子 (中カッコ内) を
とすれば、
![\begin{displaymath}
\alpha_k
=
\left\lceil\frac{R_M+1}{L}k\right\rceil
-\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil\end{displaymath}](img63.gif) |
(16) |
となるが、これが 2 つの整数のいずれかとなることを示す。
補題 2
整数
は、
を満たし、よって、
か
かの
いずれかである。
証明
今、任意の実数
に対して
と書くことにすると、
より
であり、よって、
![\begin{eqnarray*}x
&=&
\lceil A+B\rceil -\lceil A\rceil
=
\left\lceil \lceil...
...ight\rceil -\lceil A\rceil
=
\lceil B -\langle A\rangle\rceil
\end{eqnarray*}](img71.gif)
となる。よって、
より、
が言える。
この補題 2 と (16) より、
![\begin{displaymath}
\left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil-1
\leq\alpha_k\leq
\left\lceil\frac{R_M+1}{L}\right\rceil\end{displaymath}](img74.gif) |
(17) |
であること、および、
が
か
かの
いずれかであることがわかる。
それは、
,
,...,
に、
高々 1 だけしか違いがないことを意味し、また、もちろん、
であるから、これらは、
を
個へできるだけ均等に分割する方法として、
(16) の
が
最適 (なものの一つ) であることを意味する。
これにより、
の妥当性の保証が得られたことになる。
竹野茂治@新潟工科大学
2007年6月22日