4 y2 の一般の場合

この節では、3 節と同様にして、一般の

に対する

を考えてみることにする。

$1\leq k<L$ に対し、

$\begin{eqnarray*}\mathrm{Prob}\{y_2=k\} &=& \mathrm{Prob}\{\lfloor p_2L\rfloor... ...2<k/L\} \ &=& \mathrm{Prob}\{(k-1)(R_M+1)/L\leq x<k(R_M+1)/L\}\end{eqnarray*}$

となり、 $(k-1)(R_M+1)/L\geq 0$ , $k(R_M+1)/L\leq R_M+1$ なので、補題 1 により

$\begin{displaymath} \mathrm{Prob}\{y_2=k\}=\frac{1}{R_M+1}\left\{ \left\lceil\... ...t\rceil -\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil \right\}\end{displaymath}$ (15)

となる。今、(15) の分子 (中カッコ内) を $\alpha_k$ とすれば、

$\begin{displaymath} \alpha_k = \left\lceil\frac{R_M+1}{L}k\right\rceil -\left\lceil\frac{R_M+1}{L}(k-1)\right\rceil\end{displaymath}$ (16)

となるが、これが 2 つの整数のいずれかとなることを示す。

補題 2

整数 $x=\lceil A+B\rceil -\lceil A\rceil$ は、

$\begin{displaymath} \lceil B\rceil-1\leq x\leq\lceil B\rceil \end{displaymath}$

を満たし、よって、 $x=\lceil B\rceil-1$ か $x=\lceil B\rceil$ かのいずれかである。

証明

今、任意の実数に対して

$\begin{displaymath} \langle t\rangle = \lceil t\rceil - t \end{displaymath}$

と書くことにすると、 $t\leq \lceil t\rceil<t+1$ より $0\leq\langle t\rangle<1$ であり、よって、

$\begin{eqnarray*}x &=& \lceil A+B\rceil -\lceil A\rceil = \left\lceil \lceil... ...ight\rceil -\lceil A\rceil = \lceil B -\langle A\rangle\rceil \end{eqnarray*}$