4 平均自乗誤差

$P_1\sim P_5$ と

との近さをはかる尺度として、誤差評価でよく用いられる平均自乗誤差を計算してみる。

と

( $a\leq r\leq b$ ) の 平均自乗誤差 (以後

とする) とは、

$\begin{displaymath} E=\left\{\frac{1}{b-a}\int_a^b(f(r)-g(r))^2dr\right\}^{1/2} \end{displaymath}$

で定義されるものであり、関数解析学では ノルム と呼ばれている³。これを $P_1\sim P_5$ に対して計算してみる。

に対する平均自乗誤差を ( $1\leq j\leq 5$ ) とすると、グラフから、

$\begin{displaymath} E_2=E_3,\hspace{1zw}E_4=E_5 \end{displaymath}$

となることが予想されるが、一応すべて計算してみることにする。まずは

から。

$\begin{eqnarray*}E_1^2 &=& \int_0^1(r-P_1)^2dr = \int_0^1\left(r-\frac{\lflo... ... \frac{1}{3R_M^2} \frac{R_M}{2(R_M+1)} = \frac{1}{6R_M(R_M+1)}\end{eqnarray*}$

よって、

は

$\begin{displaymath} E_1=\frac{1}{\sqrt{6R_M(R_M+1)}} \end{displaymath}$

となる。

次に。

$\begin{eqnarray*}E_2^2 &=& \int_0^1(r-P_2)^2dr = \int_0^1\left(r-\frac{\lflo... ...^3}\sum_{k=1}^{R_M+1}\int_0^1 t^2dt &=& \frac{1}{3(R_M+1)^2}\end{eqnarray*}$

よって、

は

$\begin{displaymath} E_2=\frac{1}{\sqrt{3(R_M+1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}(R_M+1)} \end{displaymath}$

となる。

と比較すると、

$\begin{displaymath} E_1^2-E_2^2 = \frac{(R_M+1)-2R_M}{6R_M(R_M+1)^2} = -\frac{R_M-1}{6R_M(R_M+1)^2} <0 \end{displaymath}$

より、

である。

は、

$\begin{eqnarray*}E_3^2 &=& \int_0^1(r-P_3)^2dr = \int_0^1\left(r-\frac{\lflo... ...{R_M+1}\int_0^1 (t-1)^2dt &=& \frac{1}{3(R_M+1)^2} = E_2^2\end{eqnarray*}$

となるので、確かに

となっている。

次は。

$\begin{eqnarray*}E_4^2 &=& \int_0^1(r-P_4)^2dr = \int_0^1\left(r-\frac{\lflo... ...2}\right)^2dt &=& \frac{1}{12(R_M+1)^2} = \frac{1}{4}E_2^2\end{eqnarray*}$

となるので、

となる。

最後に。

$\begin{eqnarray*}E_5^2 &=& \int_0^1(r-P_5)^2dr = \int_0^1\left(r-\frac{\lflo... ...left(t-\frac{1}{2}\right)^2dt = \frac{1}{12(R_M+1)^2} = E_4^2\end{eqnarray*}$

となるので、確かに

となる。

とを比較すると、

$\begin{displaymath} E_1^2-E_5^2 = \frac{2(R_M+1)-R_M}{12R_M(R_M+1)^2} = \frac{R_M+2}{12R_M(R_M+1)^2} >0 \end{displaymath}$

より、

となる。

よって、結果として、

$\begin{displaymath} E_2=E_3>E_1>E_4=E_5 \end{displaymath}$

となることがわかる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2007年5月31日