2 単振り子の方程式

まず単振り子の微分方程式を紹介する。

単振り子は、長さ $\ell$ の細長い軽い棒の端に質量 $m$ の重りをつけ、 もう一方の端を原点に置き、抵抗なく左右に揺れる状態にしたときの 重りの動きを考える (図 1)。

図 1: 単振り子

なお、棒の代わりにひもで考えることが多いが、 重りの揺れが大きい状況も考える場合、 ひもだとそれが一直線であり続けることの保証が難しいため、 本稿では変形しない棒でつなぐこととする。 棒の重さは無視し、摩擦などもないとする。

$t$ を時刻、重りの位置を $(x(t),y(t))$、 棒の鉛直下向きに対する角を $\theta(t)$、 棒が重りを引く張力を $\mbox{\boldmath$T$}$、 $T=\vert\mbox{\boldmath$T$}\vert$ とする。 このとき、棒の角度から、

$$x(t)=\ell\sin\theta(t), \hspace{1zw}y(t)=-\ell\cos\theta(t), \hspace{1zw}\mbox{\boldmath$T$}=T(-\sin\theta(t),\cos\theta(t))$$ (1)

となり、重りの運動方程式は、$g$ を重力加速度とすると

$$m(x(t),y(t))'' = \mbox{\boldmath$T$}+mg(0,-1)$$ (2)

となる。(1) より、

$$\begin{eqnarray*}x''(t) &=& \ell (\theta'\cos\theta)' \ = \ \ell\theta''\... ...heta)' \ = \ \ell\theta''\sin\theta+\ell(\theta')^2\cos\theta\end{eqnarray*}$$

となるので、(2) を $\theta$ の方程式にすると、

$$\begin{eqnarray*}\theta''\cos\theta-(\theta')^2\sin\theta &=& -\frac{T}{\ell m... ...a')^2\cos\theta &=& \frac{T}{\ell m}\cos\theta - \frac{g}{\ell}\end{eqnarray*}$$

となるので、$T$ を消去した方程式、および $\theta''$ を消去した 方程式を作ると、

	$$\theta''$$	$=$	$$-\frac{g}{\ell}\sin\theta,$$	(3)
	$$(\theta')^2$$	$=$	$$\frac{T}{\ell m} - \frac{g}{\ell}\cos\theta$$	(4)

が得られる。 この (3) がいわゆる単振り子の微分方程式で、 非線形の 2 階常微分方程式である。

一方、(4) は 1 階の方程式だが、 $\theta$ 以外の未知関数 $T$ も含まれるので、 それだけで解くことはできない。 よって通常は (3) を考える。

揺れ $\theta$ が小さい場合は、 $\sin\theta\doteqdot\theta$ なので、 (3) は、

$$\theta'' = -\frac{g}{\ell}\theta$$ (5)

の解で近似できる。(5) は 2 階線形常微分方程式なので容易に解くことができ、

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$$ (6)

とすれば、

$$\theta=C_1\sin\omega_0 t+C_2\cos\omega_0 t$$ (7)

の単振動の解が得られる。この解の振動周期 $P_\ell$ は、

$$P_\ell = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$$ (8)

となる。

次節以降では非線形の方程式 (3) の解、 および周期などを考えていく。