5 補題

ここでは、4 節で用いた補題の照明を紹介する。

$V(a,b)$, $B(a,b)$, $S(x)$ 等の記号は 1 節で導入したもの、 曲面のパラメータは 4 節で導入したものを用いる。

補題 1

$f=f(x,y,z)$ に対して、

$$\frac{d}{dx}\int_{S(x)}fdydz = \int_{S(x)}f_x\,dydz -\int_\alpha^\beta f(x,\xi(x,\tau),\eta(x,\tau))\Delta(x,\tau) d\tau$$

証明

発散定理を用いると、

$$I = \int_{V(a,b)}\nabla\mathop{・}(f,0,0)dv =\int_{\partial V(a,b)} fn_x\,dS =\int_{B(a,b)} fn_x\,dS + \left[\int_{S(x)}fdydz\right]_a^b$$

となる。 (14), (15) より、 $B(a,b)$ 上では

$$\mbox{\boldmath {$n$}}dS = \frac{\partial \mbox{\boldmath {$r$}}}{\partial\tau} \times\frac{\partial \mbox{\boldmath {$r$}}}{\partial x}\,dydz$$

より $n_xdS = \Delta dydz$ なので、

$$\int_{B(a,b)} fn_x\,dS =\int_a^bdx\int_\alpha^\beta f\vert _{C(x)}\Delta d\tau$$

より、

$$I = \int_a^bdx\int_\alpha^\beta f\vert _{C(x)}\Delta d\tau + \left[\int_{S(x)}fdydz\right]_a^b$$

となる。一方、

$$I = \int_{V(a,b)}\nabla\mathop{・}(f,0,0)dv =\int_{V(a,b)}f_x\,dx =\int_a^bdx\int_{S(x)}f_x\,dydz$$

となるので、

$$\int_a^b\left\{\int_\alpha^\beta f\vert _{C(x)}\Delta d\tau + \frac{d}{dx}\int_{S(x)}fdydz\right\} dx =\int_a^bdx\int_{S(x)}f_x\,dydz$$

となる。$a,b$ の任意性により、

$$\int_\alpha^\beta f\vert _{C(x)}\Delta d\tau + \frac{d}{dx}\int_{S(x)}fdydz =\int_{S(x)}f_x\,dydz$$

補題 2

$$\int_\alpha^\beta \Delta(x,\tau)d\tau = -A'(x)$$

証明

(1) で $f\equiv 1$ とすれば得られる。