2.2 合成関数の微分法

3 変数関数の合成関数の微分は次のようになる。

命題 1

$(u,v,w)$ の 3 変数関数 $F(u,v,w)$ に $u=u(x,y,z)$, $v=v(x,y,z)$, $w=w(x,y,z)$ を代入して得られる $(x,y,z)$ の 3 変数関数

$$h=h(x,y,z)=F(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))$$

を $x$, $y$, $z$ で偏微分すると、それぞれ以下のようになる。

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial h}{\partial x} &=& \frac{\partial F}{\partial ... ...l z}+\frac{\partial F}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial z} \end{eqnarray*}$$

この命題 1 を用いると、 $x=r\cos\phi\cos\theta$, $y=r\sin\phi\cos\theta$, $z=r\sin\theta$ より、

$$\frac{\partial g}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{... ...z}{\partial r} = f_x\cos\phi\cos\theta + f_y\sin\phi\cos\theta + f_z\sin\theta,$$ (2)

$$\frac{\partial g}{\partial \phi} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \phi}+\fr... ...artial z}{\partial \phi} = f_x(-r\sin\phi\cos\theta) + f_y r\cos\phi\cos\theta,$$ (3)

$$\frac{\partial g}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\... ...partial \theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta}$$

$$= f_x(-r\cos\phi\sin\theta) + f_y(-r\sin\phi\sin\theta) + f_z r\cos\theta$$ (4)

が得られる。