16 サイン、コサインの指数関数倍の定積分

部分積分の最後に、サイン、コサインの指数関数倍の定積分

$\displaystyle I_{expsin}(a,b) = \int_a^b e^x\sin x dx, \hspace{1zw}I_{expcos}(a,b) = \int_a^b e^x\cos x dx \hspace{1zw}(a<b)$ (89)

を考える。これも

は等分に取る:

$\displaystyle x_k=a+(b-a)\,\frac{k}{n}=a+\frac{ck}{n}\hspace{1zw}(c=b-a)$

まずは $I_{expsin}(a,b)$ のリーマン和 $S_{expsin}(\Delta_n)$ では、 $\bar{x}_k=x_k$ と取り、積和の公式 (23) を用いて変形する。なお、式を簡単にするために、以後 $H(x)=a+(cx)/n$

とする。

$\displaystyle {S_{expsin}(\Delta_n) \ =\ \sum_{k=1}^n e^{\bar{x}_k}(\sin\bar{x}_k)(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n e^{H(k)}\left(\sin H(k)\right)\frac{c}{n}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n e^{H(k)}\left\{ \cos H\left(k-\frac{1}{2}\right) -\cos H\left(k+\frac{1}{2}\right)\right\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n\left\{e^{H(k)}\cos H\left(k-\frac{1}{2}\right) -e^{H(k+1)}\cos H\left(k+\frac{1}{2}\right)\right\}$
		$\displaystyle \mbox{} +\frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n\left(e^{H(k+1)}-e^{H(k)}\right) \cos H\left(k+\frac{1}{2}\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \left\{e^{H(1)}\cos H\left(\frac{1}{2}\right) -e^{H(n+1)}\cos H\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}$
		$\displaystyle \mbox{} +\frac{1}{2\sin(c/(2n))} (e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)}) \sum_{k=1}^n e^{H(k+1/2)}\left(\cos H\left(k+\frac{1}{2}\right)\right) \frac{c}{n}$

となる。ここで、

	$\displaystyle e^{H(k+1)}-e^{H(k)}$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^{a+c(k+1)/n} - e^{a+ck/n} \ =\ e^{a+c(k+1/2)/n} (e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)})$
		$\textstyle =$	$\displaystyle e^{H(k+1/2)}(e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)})$

とした。この最後の和の部分は、標本点を $\bar{x}_k=H(k+1/2)=(x_k+x_{k-1})/2$ とした、 $I_{expcos}(a,b)$ のリーマン和になっているので、これを $S_{expcos}(\Delta_n)$ とする。

次は、この $S_{expcos}(\Delta_n)$ を変形する。積和の公式 (23) より、

$\displaystyle {S_{expcos}(\Delta_n) \ =\ \sum_{k=1}^n e^{H(k+1/2)}\left(\cos H\left(k+\frac{1}{2}\right)\right) \frac{c}{n}}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n e^{H(k+1/2)}\{\sin H(k+1)-\sin H(k)\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n \{e^{H(k+1/2)}\sin H(k+1)-e^{H(k-1/2)}\sin H(k)\}$
		$\displaystyle \mbox{} -\frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \sum_{k=1}^n \{e^{H(k+1/2)}-e^{H(k-1/2)}\}\sin H(k)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c}{2n\sin(c/(2n))} \{e^{H(n+1/2)}\sin H(n+1)-e^{H(1/2)}\sin H(1)\}$
		$\displaystyle \mbox{} -\frac{1}{2\sin(c/(2n))} \{e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)}\} \sum_{k=1}^n e^{H(k)}(\sin H(k))\frac{c}{n}$

この最後の和は $S_{expsin}(\Delta_n)$ なので、結局次の式が得られたことになる。

$\displaystyle S_{expsin}(\Delta_n)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c/(2n)}{\sin(c/(2n))} \left\{e^{H(1)}\cos H\left(\frac{1}{2}\right) -e^{H(n+1)}\cos H\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}$
		$\displaystyle \mbox{} +\frac{e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)}}{2\sin(c/(2n))}\,S_{expcos}(\Delta_n),$	(90)
$\displaystyle S_{expcos}(\Delta_n)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{c/(2n)}{\sin(c/(2n))} \{e^{H(n+1/2)}\sin H(n+1)-e^{H(1/2)}\sin H(1)\}$
		$\displaystyle \mbox{} -\frac{e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)}}{2\sin(c/(2n))}\,S_{expsin}(\Delta_n)$	(91)

ここで、定数

に対して $n\rightarrow\infty$ のときに

$\displaystyle H(n+s) = a+\frac{c(n+s)}{n} = a+c + \frac{cs}{n}\rightarrow a+c = b, \hspace{1zw}H(s) = a+\frac{cs}{n} \rightarrow a$

であり、また

$\displaystyle \frac{e^{c/(2n)}-e^{-c/(2n)}}{2\sin(c/(2n))} =e^{-c/(2n)}\,\frac{e^{c/n}-1}{c/n}\,\frac{c/(2n)}{\sin(c/(2n))} \rightarrow 1$

となるので、(90),(91) で $n\rightarrow\infty$ とすると、

	$\displaystyle I_{expsin}(a,b)$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^a\cos a-e^b\cos b + I_{expcos}(a,b),$
	$\displaystyle I_{expcos}(a,b)$	$\textstyle =$	$\displaystyle e^b\sin b-e^a\sin a - I_{expsin}(a,b)$

より、結局、

	$\displaystyle I_{expsin}(a,b)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^b}{2}(\sin b-\cos b)-\frac{e^a}{2}(\sin a-\cos a)$	(92)
	$\displaystyle I_{expcos}(a,b)$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{e^b}{2}(\sin b+\cos b)-\frac{e^a}{2}(\sin a+\cos a)$	(93)

が得られる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2026-07-30