4 漸化式

今度は、(1)-(5) を数列の漸化式とみて、その数列の一般の式を求めることを考えてみることにする。つまり、

世代目の割合を、

としてその漸化式を立てると、 (1)-(5) により、次が成り立つ。

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{lll} A_{n+1} & = & \displaystyle B_n+... ...yle A_n+B_n + \frac{1}{2}C_n-2A_nB_n-A_nC_n \end{array}\right.\end{displaymath}$ (6)

もし、この右辺が

の一次式であれば、 $\mbox{\boldmath$X$}_n={}^t(A_n,B_n,C_n)$ とすることで、係数行列

によって

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$X$}_{n+1}=P\mbox{\boldmath$X$}_n \end{displaymath}$

と書けるので、

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$X$}_n=P^n\mbox{\boldmath$X$}_0 \end{displaymath}$

となり、線形代数の知識を用いれば、この行列

の固有値を求めることで

の成分を

の式で表すことができ、それにより $\mbox{\boldmath$X$}_n$ を、そして

を

の式で表すことが可能となる。

しかし、(6) の右辺は , , の 2 次式で非線形なので、一般にはこのようなことは行えず、の式で表すことは難しい。ただし、この漸化式 (6) の場合は、これが特殊な形をしているので、そこに着目してそれを求めることができる。

(6) の右辺には、, が、いずれも

$\begin{displaymath} B_n+\frac{1}{2}C_n \end{displaymath}$

の形で入っているので、

$\begin{displaymath} D_n=B_n+\frac{1}{2}C_n\end{displaymath}$ (7)

とすると、(6) は、

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{lll} A_{n+1} & = & D_n,\\ B_{n+1} & = & A_nD_n,\\ C_{n+1} & = & A_n+D_n-2A_nD_n \end{array}\right.\end{displaymath}$ (8)

と書け、これにより、

$\begin{eqnarray*}D_{n+1} &=& B_{n+1}+\frac{1}{2}C_{n+1} = A_nD_n+\frac{1}{2}(A_n+D_n-2A_nD_n) \\ &=& \frac{1}{2}A_n+\frac{1}{2}D_n\end{eqnarray*}$

となり、よって、

と

について

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{lll} A_{n+1} & = & D_n,\\ [.5zh] D_{... ...\displaystyle \frac{1}{2}A_n+\frac{1}{2}D_n \end{array}\right.\end{displaymath}$ (9)

という漸化式を導くことができる。

この (9) の右辺は、, の 1 次式なので、前の方針に従って、

$\begin{displaymath} \left[\begin{array}{c}A_{n+1}\\ D_{n+1}\end{array}\right] ... ...rray}\right] \left[\begin{array}{c}A_n\\ D_n\end{array}\right]\end{displaymath}$ (10)

から

を求めることができる。ただ、ここでは 2 本の方程式なので、行列を用いずに、より素朴な方法 (特性方程式法) により

を求めてみる。

(9) の 1 本目から $D_n=A_{n+1}$ であり、よって $D_{n+1}=A_{n+2}$ であるから、これらを (9) の 2 本目に代入すれば

$\begin{displaymath} A_{n+2} = \frac{1}{2}A_{n+1} + \frac{1}{2}A_n\end{displaymath}$ (11)

という

に対する 3 項漸化式が得られる。

なお、この式 (11) は、 $A_{n+2}$ が、その前の 2 つの項 $A_{n+1}$ , の平均であることも意味しているので、これにより、他の数列を使わなくてもを単独で容易に順次計算できることになる。

一般に、3 項漸化式

$\begin{displaymath} a_{n+2}+pa_{n+1}+q a_n=0\end{displaymath}$ (12)

に対して、2 次方程式

$\begin{displaymath} t^2+p t+q=0\end{displaymath}$ (13)

を (12) の 特性方程式 という。この特性方程式の解が $t=\alpha, \beta$ であるとき、 3 項漸化式 (12) は、

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} a_{n+2}-\alpha a_{n+1} &=& \beta (a_{n+1... ..._{n+2}-\beta a_{n+1} &=& \alpha (a_{n+1}-\beta a_n) \end{array}\end{displaymath}$

の形に変形できることが、 2 次方程式の解と係数の関係によって容易にわかる。

この 3 項漸化式 (11) の場合は、特性方程式は

$\begin{displaymath} t^2=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2} \end{displaymath}$

であるが、これを解くと

$\begin{displaymath} 2t^2-t-1=0 \end{displaymath}$

より、

と求まる。(11) は、

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \displaystyle A_{n+2}-A_{n+1} & = & \dis... ...}A_{n+1} & = & \displaystyle A_{n+1}+\frac{1}{2}A_n \end{array}\end{displaymath}$

の 2 通りの形に変形できることになる。これにより、 $A_{n+1}-A_n$ と $A_{n+1}+A_n/2$ は、それぞれ公比が

, 1 である等比数列であることになり、よって、

$\displaystyle A_{n+1}-A_n$	$\textstyle =$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)^n(A_1-A_0),$	(14)
$\displaystyle A_{n+1}+\frac{1}{2}A_n$	$\textstyle =$	$\displaystyle A_1+\frac{1}{2}A_0$	(15)

となるので、(15) から (14) を引いて

倍すれば、

$\begin{displaymath} A_n =\frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}... ...2}{3}\left\{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}A_0 \end{displaymath}$

となり、

より、結局

$\displaystyle A_n$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}D_0 +\frac{2}{3}\left\{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}A_0$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{A_0+2D_0}{3}+\frac{2A_0-2D_0}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$	(16)

が得られる。

は、 $D_n=A_{n+1}$ であるから、(16) より、

$\displaystyle D_n$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{3}\left\{2+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}D_0 +\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}A_0$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{A_0+2D_0}{3}+\frac{D_0-A_0}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^n$	(17)

となる。

は、(8), (7) により、

$\begin{displaymath} B_n=A_{n-1}D_{n-1},\hspace{1zw}C_n=2D_n-2B_n\end{displaymath}$ (18)

より求めることができる (

の一般形は複雑なので省略)。

竹野茂治＠新潟工科大学
2007年9月4日