5 平面軸対称図形の重心

次に、平面の軸対称図形の重心も簡単に公式を紹介する。

$x$ 軸に関して対称な平面図形は、当然その重心も $x$ 軸にある。

例えば、$y\geq 0$ にある曲線 $C: y=f(x)$ ($a\leq x\leq b$) の各点に 線密度 $\rho_4(x)$ が定義されていて、 それと $x$ に関して対称な曲線 $y=-f(x)$ ($a\leq x\leq b$) に 同じ線密度を与え、 その両者の曲線を合わせた図形の重心の $x$ 座標 $g_x$ は、 $\mbox{\boldmath$r$}=(x,f(x))$ より、

$$\frac{ds}{dx} = \vert(1,f'(x))\vert = \sqrt{1+(f'(x))^2}$$

なので、

$$g_x = \frac{\displaystyle 2\int_C x\rho(\mathrm{P})ds}{\d... ... dx}% {\displaystyle \int_a^b \rho_4(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx}$$ (15)

と求まる。

また、$y=f(x)$ と $y=-f(x)$ に囲まれる領域 $D=\{(x,y): -f(x)\leq y\leq f(x)\}$ に対し、 $D$ 内で $x$ 軸に対称な面密度 $\rho_5(x,y)$ ( $\rho_5(x,-y)=\rho_5(x,y)$) が 定義されているとき、 $dS=dxdy$ より、

$$\int\!\!\!\int _D \rho(\mathrm{P})dS = 2\int_a^bdx\int_{0}^{f(x)}\rho_5(x,y)dy$$

等より、$D$ の重心の $x$ 座標 $g_x$ は、

$$g_x = \frac{\displaystyle \int\!\!\!\int _D x\rho(\mathrm... ...5(x,y)dy} {\displaystyle \int_a^bdx\int_0^{f(x)}\rho_5(x,y)dy}$$ (16)

となり、特に $\rho_5(x,y)$ が $y$ に よらない場合 ( $\rho_5(x,y)=\rho_6(x)$) は

$$g_x = \frac{\displaystyle \int_a^bx\rho_6(x)f(x)dx}{\displaystyle \int_a^b\rho_6(x)f(x)dx}$$ (17)

となる。