3 回転面の重心

本節では、曲面状の回転図形 (軸対称図形)、 すなわちある関数のグラフの回転面に関する重心の計算を考える。

曲面 $S$ を、 $f(x)\geq 0$ ($a\leq x\leq b$) である関数 $h=f(x)$ のグラフを $x$ 軸を中心として回転させてできる回転面 ($xyz$ 空間内の曲面) である とする。 この $S$ の面密度も $x$ 軸に関して回転対称、 すなわち $x$ 座標のみで決まる値だとするが、 それを $\rho(\mathrm{P})=\rho_1(x)$ とする (線密度のようなもの)。 その場合、$S$ の重心 G は、当然 $x$ 軸上にあることになるが (G($g_x$,0,0))、 それも含めて以下で考察する。

この場合、$xyz$ 空間内に作られる回転面 $S$ は、

$$S: \hspace{1zw}\mbox{\boldmath$r$}=\mbox{\boldmath$r$}(x,\th... ...f(x)\sin\theta) \hspace{1zw}(a\leq x\leq b, 0\leq\theta<2\pi)$$

と表されるので、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$r$}_x\times\mbox{\boldmath$r$}_\theta &=& (1,... ...-f(x)\sin\theta) &=& f(x)(f'(x), -\cos\theta, -\sin\theta)\end{eqnarray*}$$

より

$$dS = \vert\mbox{\boldmath$r$}_x\times\mbox{\boldmath$r$}_\theta\vert dxd\theta = f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dxd\theta$$

となり、よって、 $D=[a,b]\times[0,2\pi)$ とすれば、

$$\int_S\rho(\mathrm{P})dS = \int\!\!\!\int _D\rho(\mathrm{P})\vert\mbox{\boldmath$r$}_x\times\mbox{\boldmath$r$}_\theta\vert dxd\theta$$

$$= \int_a^b dx\int_0^{2\pi}\rho_1(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} d\theta$$

$$= 2\pi\int_a^b \rho_1(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx,$$ (10)

$$\int_S\mbox{\boldmath$r$}\rho(\mathrm{P})dS = \int\!\!\!\int _D\mbox{\boldmath$r$}\rho(\mathrm{P})\vert\mbox{\boldmath$r$}_x\times\mbox{\boldmath$r$}_\theta\vert dxd\theta$$

$$= \int_a^b \rho_1f\sqrt{1+(f')^2} dx \int_0^{2\pi}(x, f(x)\cos\theta, f(x)\sin\theta)d\theta$$

$$= \left(2\pi\int_a^b x\rho_1f\sqrt{1+(f')^2} dx, 0, 0\right)$$

となるので、重心 G は $x$ 軸上にあり、その $x$ 座標 $g_x$ は

$$g_x=\frac{\displaystyle \int_a^b x\rho_1(x)f(x)\sqrt{1+(f'(... ...}% {\displaystyle \int_a^b \rho_1(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2} dx}$$ (11)

となる。