7 タンジェントの主値積分

さて元の問題に戻るが、$\tan x$ は $L^1_{loc}$ ではなく、 $x=n\pi+\pi/2$ に 1 位の極があるのでこのままでは超関数とはならない。 しかし、この特異点での積分は主値積分 (principal value) を考えることで 超関数と見なすことができる。 これを本稿では $\mathrm{pTan}x$ と書くことにする。 $\mathrm{pTan}x$ は、次のような超関数となる ( $\phi\in\mathcal{D}$)。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left\langle \mathrm{pTan}x, \phi \right\rangle ... ...+\int_{(n+1/2)\pi+\varepsilon}^{(n+1)\pi}\right)\phi(x)\tan x dx\end{eqnarray*}$$

ここで、

$$\left(\int_{n\pi}^{(n+1/2)\pi-\varepsilon} +\int_{(n+1/2)\pi+\varepsilon}^{(n+1)\pi}\right)\tan x dx = 0$$

なので、

$${\left\langle \mathrm{pTan}x, \phi \right\rangle }$$

$$= \sum_{n=-\infty}^\infty \lim_{\varepsilon\rightarrow +0} \left(... ...\pi}\right) \left(\phi(x)-\phi\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right)\tan x dx$$

$$= \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \left(\phi(x)-\phi\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right)\tan x dx$$ (19)

と表されることになる。 これは、 $\mathop{\mathrm{supp}}\nolimits \phi\subset [-N\pi,N\pi]$ とすると ($N$: 自然数)、

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\left\langle \mathrm{pTan}x, \phi \right\rangle \... ...}^{\pi/2}\vert t\cot t\vert dt \leq N\pi \Vert\phi\Vert _{C^1}\end{eqnarray*}$$

となるので、 $\mathrm{pTan}x$ は確かに超関数となる ( $\mathrm{pTan}x\in\mathcal{D}'_{\pi}$)。

次に、 $\mathrm{pTan}x$ の周期積分を計算してみる。 $\phi\in C^\infty _{\pi}$ とすると、(19) と $\phi$ の周期性により

$${\left\langle \mathrm{pTan}x, \phi \right\rangle _{\pi} = \left\langle \mathrm{pTan}x, e_\pi(x)\phi(x) \right\rangle }$$

$$= \sum_{n=-\infty}^\infty \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \left((e_{\pi}\phi)(x) -(e_{\pi}\phi)\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right)\tan x dx$$

$$= \sum_n \int_{0}^{\pi} \left(e_{\pi}(x+n\pi)\phi(x) -e_{\pi}\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\phi\left(\frac{\pi}{2}\right) \right)\tan x dx$$

$$= \int_{0}^{\pi} \sum_n \left(e_{\pi}(x+n\pi)\phi(x) -e_{\pi}\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)\phi\left(\frac{\pi}{2}\right) \right)\tan x dx$$

$$= \int_{0}^{\pi} \left(\phi(x)-\phi\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\tan x dx$$ (20)

が得られる。