10 摩擦や空気抵抗がある場合

後は、元の問題の状況が少し変わった場合、例えば摩擦を考慮した場合、空気抵抗がある場合、初速度が 0 でない場合、そしてすべる場合ではなくむしろ実際は多いと思われる玉などをころがらせる場合について考えてみる。まず本節では、摩擦や空気抵抗がある場合について考察する。

摩擦がある場合については、[8] のサイトには、「近似的」な方程式の解析解が書かれているが、厳密には以下のようになる。

この場合は、動摩擦力 $\mbox{\boldmath$G$}_1$ を (1) の式に追加する必要があるが、動摩擦力は斜面の接線方向で運動の逆方向に働き、その大きさは斜面からの垂直抗力に比例する。よって、

$\begin{displaymath} m(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t)) = m(0,-g) + \mbox{\boldmath$N$} ... ...zw}\mbox{\boldmath$G$}_1 = -\frac{(1,f')}{\sqrt{1+(f')^2}}\mu N\end{displaymath}$ (60)

となる。ここで、 $\mu\ (>0)$ は動摩擦係数である。よって、各成分に分離すると、

$\begin{displaymath} \ddot{x} = -\,\frac{f'+\mu}{\sqrt{1+(f')^2}}\,\frac{N}{m}, ... ...w} \ddot{y}+g = \frac{1-\mu f'}{\sqrt{1+(f')^2}}\,\frac{N}{m},\end{displaymath}$ (61)

となる。

[8] では、垂直抗力の大きさが、重力の斜面の垂直成分に等しい:

$\begin{displaymath} N = \frac{mg}{\sqrt{1+(f')^2}}\end{displaymath}$ (62)

と仮定して解析解を導いているが、 (62) は厳密には成り立たない。もし、斜面が直線で、物体の加速度が斜面の接線方向に等しければ、 (62) が成り立つが、今考えている斜面は直線ではないので、加速度は斜面の接線方向とは限らず、実際にはこうはならない。

さて、(61) からを消去すると、

$\begin{displaymath} (1-\mu f')\ddot{x}+(f'+\mu)(\ddot{y}+g) = 0\end{displaymath}$ (63)

となる。変分法にかけるためには、この (63) を

$\begin{displaymath} \frac{dt}{dx} = F(x,f(x),f'(x),f''(x)) \end{displaymath}$

などのような形に直せなくてはいけない。しかし、(63) は、

の 2 階の方程式だから 1 回は積分して 1 階の方程式に直さないといけないだろう。前のようにエネルギー保存則で考えると、 (63) を $\dot{x}$ 倍して、

$\begin{displaymath} \dot{x}\ddot{x}+\dot{x}f'\ddot{y}+\dot{x}f'g + \mu g\dot{x} = \mu(\dot{x}f'\ddot{x} - \dot{x}\ddot{y}) \end{displaymath}$

となり、 $f'\dot{x}=\dot{y}$ より、

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2\}+gy + \mu g x\right) = \mu (\dot{y}\ddot{x} - \dot{x}\ddot{y})\end{displaymath}$ (64)

となる。左辺は

での微分の形になっているが、右辺はその形にはなっていない。この右辺の

の微分を

と

で表すと、

$\begin{displaymath} \dot{y}\ddot{x} - \dot{x}\ddot{y} = f'\dot{x}\ddot{x} - \dot... ...ot{x} - \dot{x}(\ddot{x}f'+(\dot{x})^2 f'') = -(\dot{x})^3 f'' \end{displaymath}$

となるが、これもやはり

の微分の形に直すことはできない。

(63) の式でを , に書き直してみると、

$\begin{eqnarray*}&& (1-\mu f')\ddot{x}+(f'+\mu)(\ddot{x}f'+(\dot{x})^2 f''+ g) ... ...left(1+(f')^2\right)\ddot{x}+(f'+\mu)f''(\dot{x})^2+g(f'+\mu) = 0\end{eqnarray*}$

より、

$\begin{displaymath} \ddot{x} + \frac{(f'+\mu)f''}{1+(f')^2}\,(\dot{x})^2 + \frac{(f'+\mu)g}{1+(f')^2} = 0\end{displaymath}$ (65)

という 2 階の非線形の微分方程式となる。これに何らかの積分因子をかけることで、この式を 1 回積分することは可能かもしれないがかなり難しいだろう。少なくとも今のところ私には良くわからない。

つまり、摩擦のある場合は、摩擦のない場合の (11) の式のような、変分法が使える積分の式を導くことも容易ではない。

次は、摩擦の代わりに空気抵抗がある場合について考えてみる。この場合は (60) の摩擦力 $\mbox{\boldmath$G$}_1$ を空気抵抗力 $\mbox{\boldmath$G$}_2$ に変えればよい。

空気抵抗力 $\mbox{\boldmath$G$}_2$ は、運動の逆方向、すなわち斜面の接線方向で運動の逆方向に働くところまでは $\mbox{\boldmath$G$}_1$ と同じだが、その大きさは速さ $v=\vert\mbox{\boldmath$v$}\vert=\vert(\dot{x},\dot{y})\vert$ の関数 (増加関数) と考えることができる。よく用いられるのは、速さに比例すると考えた式、あるいは速さの 2 乗に比例すると考えた式である。ここでは、簡単のため速さに比例するとする。この場合、

$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$G$}_2 &=& -\frac{(1,f')}{\sqrt{1+(f')^2}}(kv)... ...qrt{1+(f')^2}\,\dot{x} = -k(1,f')\dot{x} = -k(\dot{x},\dot{y})\end{eqnarray*}$

となる。ここで、

(

) は比例定数だが、抵抗力の大きさが速さに比例するのではない場合は、

を

の関数と考えればよい。

この場合は、

$\begin{displaymath} \ddot{x} = -\,\frac{f'}{\sqrt{1+(f')^2}}\,\frac{N}{m} - \fr... ...= \frac{1}{\sqrt{1+(f')^2}}\,\frac{N}{m} - \frac{k}{m}\,\dot{y}\end{displaymath}$ (66)

となるので、

を消去すると、

$\begin{displaymath} \ddot{x}+\frac{k}{m}\,\dot{x} +\left(\ddot{y}+g+\frac{k}{m}\dot{y}\right)f' = 0\end{displaymath}$ (67)

が得られる。この場合もエネルギーを考えると、

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2\}+gy\right) = -\frac{k}{m}\left((\dot{x})^2+(\dot{y})^2\right)\end{displaymath}$ (68)

すなわち、

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\left(\frac{v^2}{2}+gy\right) + \frac{k}{m}\,v^2 = 0\end{displaymath}$ (69)

となるが、これも (64) と同様にきれいには積分できない。

が定数でなく

の関数である場合も、残念ながらあまりうまくいくような気はしない。

(67) を , のみの式に書き換えてみると、

$\begin{eqnarray*}&& \ddot{x}+\frac{k}{m}\,\dot{x} +\left(\ddot{x}f'+(\dot{x})^... ...+f'f''(\dot{x})^2 +\frac{k}{m}\left(1+(f')^2\right)\dot{x}+gf'=0\end{eqnarray*}$

より、

$\begin{displaymath} \ddot{x} + \frac{k}{m}\,\dot{x} + \frac{ff''}{1+(f')^2}\,(\dot{x})^2 + \frac{gf'}{1+(f')^2} = 0\end{displaymath}$ (70)

という 2 階の非線形の微分方程式が得られるが、これもやはり積分因子を見つけることは容易ではなさそうである。

さらに、摩擦と空気抵抗の両方を考えた式を作ることもできるが、それも簡単に解けそうな方程式にはならない。

竹野茂治＠新潟工科大学
2016年1月8日