4 伸びとの相関

本節で、$x$ と伸びとの相関を調べてみる。まずは $x$ と $z$ から。

$$\bar{z} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N z_j = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N (y_j-x_j) = \bar{y}-\bar{x}$$

より、

$$S_{xz} = \sum_{j=1}^N x_jz_j - N\bar{x}\bar{z} =\ \sum_{j=1}^N x_jy_j - \sum_{j=1}^N x_j^2 - N\bar{x}\bar{y} + N(\bar{x})^2$$

$$= S_{xy}-S_{xx},$$ (9)

$$S_{zz} = \sum_{j=1}^N z_j^2 - N(\bar{z})^2 =\ \sum_{j=1}^N (y_j-x_j)^2 - N(\bar{y}-\bar{x})^2$$

$$= \sum_{j=1}^N y_j^2 -2\sum_{j=1}^N y_jx_j +\sum_{j=1}^N x_j^2 - N(\bar{y})^2 +2N\bar{y}\bar{x} - N(\bar{x})^2$$

$$= S_{yy}-2S_{xy}+S_{xx}$$ (10)

となる。よって、$x$ と $z$ の相関係数 $r_{xz}$ は

$$r_{xz} = \frac{S_{xz}}{\sqrt{S_{xx}S_{zz}}} = \frac{S_{xy}-S_{xx}}{\sqrt{S_{xx}(S_{xx}-2S_{xy}+S_{yy})}}$$ (11)

となるので、$x$ と $z$ の相関は必ずしも 0 になるわけではなく、 相関が 0 になるのは $S_{xy}=S_{xx}$ のとき、 すなわち $x$ と $y$ の回帰直線 (6) の傾き $\alpha_{xy}$ が 1 のとき、となる。 元々の回帰直線の傾きが 1 に近ければ $x$ と $z$ との相関は 小さくなるが、一般にはそうとも限らない。

次は $x$ と $w$ の相関を考える。

$$w_j = (y_j-\bar{y})-\alpha_{xy}(x_j-\bar{x})$$ (12)

より、

$$\bar{w} = \sum_{j=1}^N(y_j-\bar{y})-\alpha_{xy}\sum_{j=1}^N(x_j-\bar{x}) = 0$$

すなわち $w$ の平均は 0 となる。よって、

$$\begin{eqnarray*}S_{xw} &=& \sum_{j=1}^Nx_jw_j - N\bar{x}\bar{w} =\ \sum_... ..._{xy}S_{xx} &=& S_{xy}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}S_{xx} =\ 0\end{eqnarray*}$$

となり、$x$, $w$ の積和は 0 となる。一応 $S_{ww}$ も計算してみると、

$$\begin{eqnarray*}S_{ww} &=& \sum_{j=1}^N(w_j-\bar{w})^2 =\ \sum_{j=1}^N\{... ... =\ S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}} &=& S_{yy}(1-r_{xy}^2)\end{eqnarray*}$$

となるので、$x$ と $y$ が完全に直線相関 ($r_{xy}=\pm 1$) で なければ $S_{ww}>0$ であり、$x$, $w$ の相関は

$$r_{xw} =\frac{S_{xw}}{\sqrt{S_{xx}S_{ww}}} = 0$$

すなわち、相関は常に 0 であることがわかる。