2 計算式

各データに対する計算式をまずあげておく。

$x_j$ の平均 $\bar{x}$, $y_j$ の平均 $\bar{y}$ は

$$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N x_j, \hspace{1zw}\bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N y_j$$ (1)

平方和 $S_{xx}, S_{yy}$ と積和 $S_{xy}$ は以下の通り。

$$S_{xx}=\sum_{j=1}^N(x_j-\bar{x})^2, \hspace{1zw}S_{yy}=\su... ...)^2, \hspace{1zw}S_{xy}=\sum_{j=1}^N(x_j-\bar{x})(y_j-\bar{y})$$ (2)

これらは、展開によって以下のようにも書ける。

$$S_{xx} = \sum_{j=1}^Nx_j^2 -2\bar{x}\sum_{j=1}^Nx_j+N(\bar{x})^2 =\ \sum_{j=1}^Nx_j^2 -N(\bar{x})^2,$$ (3)

$$S_{yy} = \sum_{j=1}^Ny_j^2 -N(\bar{y})^2,$$ (4)

$$S_{xy} = \sum_{j=1}^Nx_jy_j - \bar{x}\sum_{j=1}^Ny_j - \bar{y}\sum_{j=1}^Nx_j + N\bar{x}\bar{y} =\ \sum_{j=1}^Nx_jy_j -N\bar{x}\bar{y}$$ (5)

$x$ と $y$ の回帰直線は、

$$y = \alpha_{xy}(x-\bar{x})+\bar{y}, \hspace{1zw}\alpha_{xy} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$$ (6)

で得られる $y$ 方向の最小自乗直線で、相関係数

$$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$$ (7)

が $\pm 1$ に近いほど回帰直線の近くに分布することが知られている。