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4 回転不変性について

これまでにあげた疑問を考えていくが、まずは問題 2 としてあげた相関係数や回帰直線の回転不変性について考える。

データを、原点の周りに $\theta$ 回転したデータをとする。すなわち

$\begin{displaymath} \left[\begin{array}{c}x'_j\\ y'_j\end{array}\right] = A(\the... ...\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta\end{array}\right] \end{displaymath}$

とすれば、

$\begin{displaymath} \left[\begin{array}{c}\overline{x'}\,\\ \overline{y'}\,\end{... ...y}{c}x_j-\overline{x}\,\\ y_j-\overline{y}\,\end{array}\right] \end{displaymath}$

なので、

$\begin{eqnarray*}S_{x'x'} & = & \sum_j (x'_j-\overline{x'}\,)^2 = \sum_j \{(... ...{xx}\sin^2\theta+2S_{xy}\cos\theta\sin\theta +S_{yy}\cos^2\theta\end{eqnarray*}$

となる。この式から、

が $\theta$ に関して不変でないことはすぐに分かる。

しかし、回転不変な式もいくつか容易に見つかる。例えば

$\begin{displaymath} S_{x'x'}+S_{y'y'} = S_{xx}+S_{yy}\end{displaymath}$

(2)

であるし、また、

$\begin{eqnarray*}S_{x'x'}-S_{y'y'} & = & (S_{xx}-S_{yy})(\cos^2\theta-\sin^2\t... ...\ 2S_{x'y'} & = & (S_{xx}-S_{yy})\sin2\theta+2S_{xy}\cos2\theta\end{eqnarray*}$

より、

$\begin{displaymath} (S_{x'x'}-S_{y'y'})^2+4S_{x'y'}^2 = (S_{xx}-S_{yy})^2+4S_{xy}^2\end{displaymath}$

(3)

のような不変量も得られるし、これら 2 つを組み合わせて ( $% latex2html id marker 2117 $((\ref{eq:rotationinv:2})-(\ref{eq:rotationinv:1})^2)/4$$ )、

$\begin{displaymath} S_{x'y'}^2-S_{x'x'}S_{y'y'} = S_{xy}^2-S_{xx}S_{yy}\end{displaymath}$

(4)

のような不変量も得られる。

また、この回転されたデータに対する回帰直線は

$\begin{displaymath} y'-\overline{y'}\,=a'(x'-\overline{x'}\,) = \frac{S_{x'y'}}{S_{x'x'}}(x'-\overline{x'}\,) \end{displaymath}$

であり、これは

$\begin{displaymath} \left[\begin{array}{c}x'-\overline{x'}\,\\ y'-\overline{y'}\... ...array}\right] =t\left[\begin{array}{c}1\\ a'\end{array}\right] \end{displaymath}$

とパラメータ表示される。よって、この両辺に $A(-\theta)$ をかけてこの直線を原点の周りに $(-\theta)$ 回転すると

$\begin{eqnarray*}&& A(-\theta)\left[\begin{array}{c}x'-\overline{x'}\,\\ y'-\ove... ...a\\ -S_{x'x'}\sin\theta+S_{x'y'}\cos\theta\end{array}\right]\\ \end{eqnarray*}$

となる。ここで、

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{S_{x'x'}\cos\theta+S_{x'y'}\sin\theta}\\ & = & (S_{x... ...sin\theta\}\cos\theta\\ & = & S_{xy}\cos\theta-S_{yy}\sin\theta\end{eqnarray*}$

となるので、この直線の傾き $a''(\theta)$ は

$\begin{displaymath} a''(\theta) = \frac{-S_{x'x'}\sin\theta+S_{x'y'}\cos\theta}%... ...os\theta-S_{yy}\sin\theta}{S_{xx}\cos\theta -S_{xy}\sin\theta} \end{displaymath}$