7 複素微分可能性との関係

複素関数 $w=f(z)$ は、複素数 $z=x+iy$ から複素数 $w=u+iv$ への 関数であり、$x+iy$ と $(x,y)$ は 1 対 1 に対応するので、 $z=x+iy$ の実数値関数である $u=u(x+iy)$, $v=v(x+iy)$ は $(x,y)$ の 2 変数関数と見ることもできる。 今、$z=x+iy$ の関数を $(x,y)$ の関数と見たものには $\hat{}$ をつけて 書くことにすると、

$$f(z) = f(x+iy) = \hat{f}(x,y) = u(x+iy) + iv(x+iy) = \hat{u}(x,y) + i\hat{v}(x,y)$$

となる。

良く知られているように、複素関数では「正則性」が非常に重要である。 $f(z)$ が領域 $D$ 上で「正則」であるとは、 $D$ 内の各 $z$ で $f$ が「複素微分可能」であることを意味する。 「複素微分可能」や「極限」、「(複素) 連続性」の定義は以下の通り。

• 極限: 複素関数の「極限」
  $$\lim_{z\rightarrow z_0}{f}(z) = w_0 \hspace{1zw}(z_0=a+ib,\ w_0 = u_0 +iv_0)$$
  は、2 変数関数の極限
    $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}{\hat{f}(x,y)} = u_0+iv_0$$ (20)
  により定める。これは、 $\hat{f}=\hat{u}+i\hat{v}$ とすると
  $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}{\hat{u}(x,y)} = u_0 \mbox{ かつ } \lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}{\hat{v}(x,y)} = v_0$$
  であることと同値となる。
• 連続性: $f(z)$ が $z_0$ で「(複素) 連続」であるとは、 $z_0$ の周辺で $f(z)$ が定義され、
  $$\lim_{z\rightarrow z_0}{f(z)}=f(z_0)$$
  となることと定める。これは上の極限の定義により、 $\hat{u}(x,y)$ と $\hat{v}(x,y)$ が ともに $(a,b)$ で連続であることと同値になる。
• 複素微分可能性: $f(z)$ が $z_0$ で「複素微分可能」であるとは、
    $$\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = \lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ (21)
  の極限が存在することと定義し、この極限を $f'(z_0)$ とする。

この複素微分可能性を、$\hat{u}$, $\hat{v}$ に関する条件に 書き直すのが本節の目的である。

$z_0=a+ib$, $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$, $f'(z_0)=\alpha+i\beta$ とし、

$$\begin{eqnarray*}\Delta f &=& f(z_0+\Delta z)-f(z_0) = \Delta u + i\Delta v, ... ...) = \Delta\hat{v} = \hat{v}(a+\Delta x,b+\Delta y)-\hat{v}(a,b)\end{eqnarray*}$$

とする。このとき、複素微分可能性 (21) は (20) より

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)}\frac{\Delta\hat{u}+i\Delta\hat{v}}{\Delta x+i\Delta y} =\alpha+i\beta$$

を意味することになる。これはさらに、

	$${\Delta\hat{u}+i\Delta\hat{v} \ =\ (\alpha+i\beta)(\Delta x+i\Delta y) +\hat{\varepsilon }(\Delta x,\Delta y)(\Delta x+i\Delta y)}$$
		$=$	$$(\alpha+i\beta)(\Delta x+i\Delta y) +(\hat{\eta}(\Delta x,\Delta y)+i\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)) (\Delta x+i\Delta y)$$	(22)

と書き換えることができ、 $\hat{\varepsilon }(h,k)=\hat{\eta}(h,k)+i\hat{\xi}(h,k)$ は、

$$\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}{\hat{\eta}(h,k)}=\hat{\eta}(0,0)=0, \hspace{1zw}\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}{\hat{\xi}(h,k)}=\hat{\xi}(0,0)=0$$

となるものである。(22) を実部と虚部に分離すると、

	$$\Delta\hat{u}$$	$=$	$$\alpha\Delta x - \beta\Delta y + \hat{\eta}(\Delta x,\Delta y)\Delta x -\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)\Delta y,$$
		$=$	$$\alpha\Delta x - \beta\Delta y +\Delta r\left(\frac{\Delta x}{\De... ...,\Delta y) \,-\,\frac{\Delta y}{\Delta r}\,\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)\right),$$	(23)
	$$\Delta\hat{v}$$	$=$	$$\alpha\Delta y + \beta\Delta x + \hat{\eta}(\Delta x,\Delta y)\Delta y +\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)\Delta x$$
		$=$	$$\alpha\Delta y + \beta\Delta x +\Delta r\left(\frac{\Delta y}{\De... ...x,\Delta y) \,+\,\frac{\Delta x}{\Delta r}\,\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)\right)$$	(24)
			$$\left(\Delta r = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)$$

と変形できる。ここで、 $(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)$ に対し、

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\frac{\Delta x}{\Delta r}\,\hat{\eta}(\Delta x,\Delta... ...lta y)\vert+\vert\hat{\xi}(\Delta x,\Delta y)\vert \rightarrow 0\end{eqnarray*}$$

なので、(23), (24) は、 $\hat{u}$, $\hat{v}$ が $(a,b)$ で全微分可能であることを示している。 さらに、(23), (24) より、

  $$\alpha = \hat{u}_x(a,b) = \hat{v}_y(a,b), \hspace{1zw}\beta = -\hat{u}_y(a,b) = \hat{v}_x(a,b)$$ (25)

が成り立つ。この $\hat{u},\hat{v}$ に関する関係式を、 「コーシー・リーマンの関係式」という。

以上により

$f(z)$ が $z_0=a+ib$ で複素微分可能であれば、 $\hat{u}(x,y), \hat{v}(x,y)$ は $(a,b)$ で全微分可能で、 コーシー・リーマンの関係式が成り立つ

ということがわかった。 実はこの逆も成り立つ。

定理 3

次の 2 つは同値。

1. $f(z)$ は $z_0=a+ib$ で複素微分可能。
2. $\hat{u}(x,y), \hat{v}(x,y)$ は $(a,b)$ で全微分可能で、 コーシー・リーマンの関係式を満たす。

「1. ならば 2.」は上で示したので、以下に「2. ならば 1.」を示す。 2. を仮定し、 $\alpha$, $\beta$ を (25) のように取ると、 $\hat{u}$, $\hat{v}$ の全微分可能性は、

$$\begin{eqnarray*}\Delta\hat{u} &=& \alpha\Delta x-\beta\Delta y+\Delta r\hat{\... ... \\ && \left(\Delta r = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)\end{eqnarray*}$$

と書ける。このとき、 $\Delta\hat{f}=\Delta\hat{u}+i\Delta\hat{v}$ は、

$$\begin{eqnarray*}\Delta\hat{f} &=& \Delta\hat{u}+i\Delta\hat{v} = (\alpha+i\b... ...elta x+i\Delta y}\, (\hat{\varepsilon }_1+i\hat{\varepsilon }_2)\end{eqnarray*}$$

となり、よって、

$$\frac{\Delta\hat{f}}{\Delta z} = \alpha+i\beta + \frac{\Delta r}{... ...t{\varepsilon }_1(\Delta x,\Delta y)+i\hat{\varepsilon }_2(\Delta x,\Delta y))$$

となるが、

$$\left\vert\frac{\Delta r}{\Delta z}\right\vert = \frac{\vert\Delta z\vert}{\vert\Delta z\vert} \ =\ 1$$

であり、よって $(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)$ のときに

$$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)}\frac{\Delta\hat{f}}{\Delta z} =\alpha+i\beta$$

となり極限が存在することになる。 これで $f$ の $z_0$ での複素微分可能性が示されたことになり、 よって定理 3 が証明されたことになる。

工学向けの複素関数論の本では、 全微分可能性との同値性まで細かく書いてあることは多くはなく、 むしろ全微分可能性の十分条件である $\hat{u}$,$\hat{v}$ の 偏導関数の連続性を仮定した上で、 コーシー・リーマンのみが複素微分可能性の同値な条件である、 としているものもある (例えば [10],[11])。