3 対数の微分の形

まず、未定係数法を用いなくても簡単に部分分数分解できる、 特別な形を紹介する。

命題 1

整式 $f(x)$ が $$f(x)=\prod_{j=1}^n f_j(x) =f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$$ の整式の積で、 $g(x)=f'(x)$ のとき、商 $g(x)/f(x)$ は

$$\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \frac{f_2'(x)}{f_2(x)} +\cdots+\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}$$ (3)

と分解される。

証明

$$\log\vert f(x)\vert = \log\left\vert\prod_{j=1}^n f_j(x)\right\vert =\sum_{j=1}^n\log\vert f_j(x)\vert$$

より、両辺微分すれば、

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} + \frac{f_2'(x)}{f_2(x)} +\cdots+\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}$$

となる。

例えば、 $I=(3x^2-6x+1)/(x-3)(x^2+1)$ は、

$$\{(x-3)(x^2+1)\}' = (x^3-3x^2+x-3)' = 3x^3-6x+1$$

なので、命題 1 より

$$I = \frac{\{(x-3)(x^2+1)\}'}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{(x-3)'}{x-3} + \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{1}{x-3} + \frac{2x}{x^2+1}$$

と部分分数分解されることになる。

実際、 $3x^2-6x+1 = x^2+1 + 2x(x-3)$ より,

$$I = \frac{x^2+1 + 2x(x-3)}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{1}{x-3} + \frac{2x}{x^2+1}$$

となる。 なお、この命題 1 では $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ は 互いに素である必要もない。