2 未定係数法

まず、未定係数法による部分分数分解の例を紹介する。

例えば、

$$\frac{10x}{(x-3)(x^2+1)}$$

の場合は、

$$\frac{10x}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{a}{x-3} + \frac{bx+c}{x^2+1}$$ (1)

のように、部分分数分解後の形を「部分分数分解の原理」([2]) に 従って想定し、その形の未定係数を用いた式で表し、 これが恒等式となるように $a,b,c$ を決めるというやり方である。

(1) の分母を払うと,

$$10x = a(x^2+1) + (bx+c)(x-3) = (a+b)x^2 + (c-3b)x + (a-3c)$$

となり、これが恒等式となるためには、各次数の係数を比較して、

$$\left\{\begin{array}{l} a+b=0\\ c-3b=10\\ a-3c=0\end{array}\right.$$

となることが条件。 これを解いて $a=3,b=-3,c=1$ が得られ、 よって (1) は

$$\frac{10x}{(x-3)(x^2+1)} = \frac{3}{x-3} + \frac{-3x+1}{x^2+1}$$ (2)

となる、という方法である。