4 三角関数の有理関数の積分

次は、三角関数の含まれる有理関数の積分、例えば $1/(2+\cos x)$ のようなものの不定積分を考える。 少し一般化して、

$$I_2 = \int\frac{dx}{p+\cos x}\hspace{0.5zw}(p>1)$$ (13)

を考えることにする。

この積分の標準的な求め方は、$\tan(x/2) = u$ ($-\pi<x<\pi$) とする 割と面倒な置換積分であるが、 $x = 2\arctan u$ より

$$dx = \frac{2du}{1+u^2}, \hspace{0.5zw}\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1 = \frac{2}{1+u^2}-1 =\frac{1-u^2}{1+u^2}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}I_2 &=& \int \frac{2/(1+u^2)}{p+(1-u^2)/(1+u^2)} du = \int... ...2)+1-u^2} &=& \int \frac{2}{p-1} \frac{du}{u^2+(p+1)/(p-1)}\end{eqnarray*}$$

となる。ここで $u=\sqrt{(p+1)/(p-1)} t$ とすれば

$$\begin{eqnarray*}I_2 &=& \int \frac{2}{p-1} \sqrt{\frac{p+1}{p-1}} \frac{p-1... ...\sqrt{p^2-1}} \arctan\left(\sqrt{\frac{p-1}{p+1}} u\right) + C\end{eqnarray*}$$

となり、結局

$$I_2 = \frac{2}{\sqrt{p^2-1}} \arctan\left(\sqrt{\frac{p-1}{p+1}} \tan\frac{x}{2}\right)+C$$ (14)

が得られる。

ただし、(14) は、$-\pi<x<\pi$ で考えていて、 より広い範囲で考えると (14) の右辺は $x=\pm\pi$ では 不連続になってしまう。 一方で、定義 (13) よりわかるが、 $I_2$ はすべての $x$ で連続につながる原始関数を持つはずなので、 ここでそれを先に考えておく。

そのために、定数 $k>0$ に対し、 以下のような関数 $g_0(x, k)$, $g_1(x, k)$ を考える。

$$g_0(x, k) = \arctan(k\tan x)$$ (15)

$$g_1(x, k) = \mathop{\rm arccot}(k\cot x)$$ (16)

なお、 $x = \mathop{\rm arccot}y$ は $0<x<\pi$ での $y=\cot x$ (図 1) の逆関数で、すべての実数 $y$ で定義され、 $$\lim_{y\rightarrow \infty}{\mathop{\rm arccot}y}=0$$, $$\lim_{y\rightarrow -\infty}{\mathop{\rm arccot}y}=\pi$$ となるもの (図 2)、 また $g_0(x, k)$, $g_1(x, k)$ の定義域は、 それぞれ $\tan x$, $\cot x$ の定義域と同じものとする。

図 1: $y=\cot x$ のグラフ

図 2: $y=\protect\mathop{\rm arccot}x$ のグラフ

$x = \mathop{\rm arccot}y$ とすると、$y=\cot x$ ($0<x<\pi$) で、

$$y = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin (\pi/2-x)}{\cos (\pi/2-x)} = \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$

で、 $-\pi/2<\pi/2-x<\pi/2$ より $\pi/2-x = \arctan y$ となるから、よって

$$\mathop{\rm arccot}y = \frac{\pi}{2} - \arctan y$$

となる。これにより、

$$g_1(x, k) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(-k\tan\left(x-\f... ...t)\right) = \frac{\pi}{2} + g_0\left(x-\frac{\pi}{2}, k\right)$$ (17)

となるので、 $g_1(x, k)$ のグラフは、$g_0(x, k)$ のグラフを平行移動したもの になる (図 3)。

図 3: $g_0(x, k)$, $g_1(x, k)$ のグラフ ($k=1/\sqrt {3}$)

いずれも周期は $\pi$、そして $g_0(x, k)$ は奇関数で、 $x=(n+1/2)\pi$ ($n$ は整数) で不連続:

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow (n+1/2)\pi+0}{g_0(x, k)}=-\... ...displaystyle \lim_{x\rightarrow (n+1/2)\pi-0}{g_0(x, k)}=\pi/2$$

となっている。

また、$0<x<\pi/2$ では、$y=g_1(x,k)$ とすると $0<y<\pi/2$ で、

$$\cot y = k\cot x, \hspace{0.5zw} \tan y = \frac{1}{k} \tan x, \hspace{0.5zw} y = \arctan\left(\frac{1}{k} \tan x\right)$$

となり、よって $0<x<\pi/2$ では $g_1(x, k)=g_0(x, 1/k)$ が 成り立つことがわかる。 $\pi/2<x<\pi$ では、この性質と周期性、および (17) により

$$g_1(x, k) = \frac{\pi}{2} + g_0\left(x-\frac{\pi}{2}, k\righ... ...{2}, \frac{1}{k}\right) = \pi + g_0\left(x, \frac{1}{k}\right)$$

となる。

ここから、$g_0(x, k)$, $g_1(x, k)$ の段差を解消した関数 (図 4):

$$\begin{eqnarray*}G_0(x, k) &=& g_0(x, k) + n\pi\hspace{0.5zw}((n-1/2)\pi<x<(n+1/... ...\ G_1(x, k) &=& g_1(x, k) + n\pi\hspace{0.5zw}(n\pi<x<(n+1)\pi)\end{eqnarray*}$$

図 4: $G_0(x, k)$, $g_0(x, k)$ のグラフ ($k=1/\sqrt {3}$)

は、いずれも連続で (定義域の境界では極限で考える)、 上の考察からすべての $x$ に対して $G_1(x, k)=G_0(x, 1/k)$ で あることがわかり、よって、すべての $x$ で滑らかであることもわかる。

$G_0(x, k)$ の導関数は、

$$\begin{eqnarray*}G_0'(x, k) &=& \frac{k/\cos^2 x}{1 + k^2\tan^2 x} = \frac{k}{\cos^2 x + k^2\sin^2 x} = \frac{2k}{1+k^2+(1-k^2)\cos 2x}\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\left\{G_0\left(\frac{x}{2}, \sqrt{\frac{p-1}{p+1}}\right) \rig... ...^2-1}}{2p+2\cos x} = \frac{\sqrt{p^2-1}}{2} \frac{1}{p+\cos x}\end{eqnarray*}$$

となり、よって (13) の滑らかな原始関数による積分は、

$$I_2 = \frac{2}{\sqrt{p^2-1}} G_0\left(\frac{x}{2}, \sqrt... ..._1\left(\frac{x}{2}, \sqrt{\frac{p+1}{p-1}}\right) + C \right)$$ (18)

であることがわかる。これが、$x=\pm n\pi$ で不連続性の 段差を持つ (14) を、 すべての $x$ に対して滑らかに拡張したものになる。