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2 共役による対称性

分子が奇数次の場合は容易に積分できるので、 ここでは分子が偶数次の場合にのみ限定し、

\begin{displaymath} \frac{\mbox{$x^2$\ の ($m-1$) 次の整式}}{(x^2+1)^m} \end{displaymath}

を考えることにする。 $(x^2+1)^m=(x+i)^m(x-i)^m$ なので [3] で述べたように、
\begin{displaymath} \frac{f(x^2)}{(x^2+1)^m} = \frac{g(x)}{(x+i)^m}+\frac{h(x)}{(x-i)^m}\end{displaymath} (1)

のように部分分数分解できる。 ここで、$f(y)$ は $y$ に関する実数係数の $(m-1)$ 次の整式とし、 $g(x)$, $h(x)$ は複素数係数の高々 $(m-1)$ 次の整式になる。

分母を払えば、

\begin{displaymath} f(x^2)=g(x)(x-i)^m+h(x)(x+i)^m\end{displaymath} (2)

となるが、$f(x^2)$ は実数係数なのでこの両辺の共役を取ると、
\begin{displaymath} f(x^2)=\bar{g}(x)(x+i)^m+\bar{h}(x)(x-i)^m\end{displaymath} (3)

となる。ここで、$\bar{g}(x)$ は、$g(x)$ の係数を すべて共役複素数にした整式を意味する。 (2), (3) により、

\begin{displaymath} (g-\bar{h})(x-i)^m + (h-\bar{g})(x+i)^m = 0 \end{displaymath}

よって、

\begin{displaymath} (g-\bar{h})(x-i)^m = (\bar{g}-h)(x+i)^m \end{displaymath}

が成り立つ。 $g-\bar{h}\neq 0$ であれば 左辺の因子である $(x-i)^m$ は右辺の因子にもなるが、 それは $(x+i)^m$ とは互いに素なので、 $(x-i)^m$ は $\bar{g}-h$ の因子であるはずである。 しかし、$\bar{g}-h$ の次数 $\deg(\bar{g}-h)$ は $\deg(\bar{g}-h)<m$ であるから、 これは $\bar{g}-h=0$ を意味し、それは $g-\bar{h}\neq 0$ に反する。 よって背理法により $g-\bar{h}=\bar{g}-h=0$ となるので、 (1) は、
\begin{displaymath} \frac{f(x^2)}{(x^2+1)^m} = \frac{g(x)}{(x+i)^m}+\frac{\bar{g}(x)}{(x-i)^m}\end{displaymath} (4)

という形になる。 (1) だと、$g(x)$, $h(x)$ の自由度があるが、 (4) だと $g(x)$ だけの自由度なので 未定係数法で考える場合多少楽になる。

しかし、$g(x)$ が高々 $(m-1)$ 次式だとは言ってもその係数は複素数なので、 係数は複素数 $m$ 個、すなわち実数 $2m$ 個の自由度がまだあることになる。

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竹野茂治＠新潟工科大学
2006年6月2日