次へ: 3 積分の実行 上へ: '有理関数の積分について (その 2)' 前へ: 1 はじめに (PDF ファイル: quotef2.pdf)

2 奇数次と偶数次の分離について

[1] では、(1) の分子を 奇数次と偶数次の項に分離して、奇数次の方は $x^2+1=u$、 偶数次の方は $x=\tan\theta$ と置換するか、 または部分積分を利用する方法を紹介している。

しかし、いずれにせよ

$$\frac{x}{(x^2+1)^m},\hspace{1zw}\frac{1}{(x^2+1)^m}$$

の形に直すのであるから、まずそのように整理するのがよいだろうと思う。 よって、まず、

「分子に $x^2=u-1$ を代入して、それを展開して $x$ の一次式に整理する」

ということを行う。 ただし、$x$ の奇数次の項には、$x$ を一つだけ残して、 他の偶数次部分にのみ代入することとする。 それにより、分子は $x$ に関する 1 次式となる。

以下、

$$f(x) = \frac{3x^5-6x^4+x^3-x^2+3x-7}{(x^2+1)^3}$$

を例に取って計算する。

$$\begin{eqnarray*}分子 &=& 3x(u-1)^2-6(u-1)^2+x(u-1)-(u-1)+3x-7 \\ &=& x(3u... ...1+3) + (-6u^2+12u-6-u+1-7) \\ &=& x(3u^2-5u+5) + (-6u^2+11u-12)\end{eqnarray*}$$

よって、

$$\begin{eqnarray*}f(x) &=& \frac{x(3u^2-5u+5)}{u^3} + \frac{-6u^2+11u-12}{u^3}... ...\right) +\left(-\frac{6}{u}+\frac{11}{u^2}-\frac{12}{u^3}\right)\end{eqnarray*}$$

となる。

次へ: 3 積分の実行 上へ: '有理関数の積分について (その 2)' 前へ: 1 はじめに