5 積と合成関数の微分による証明

次に、積と合成関数の微分による証明を紹介する。 これは、講義で使用している教科書 [3] に書かれている方法である。 つまり [3] は、積の微分の後で合成関数の微分を紹介し、 その次に商の微分を紹介する、という順で説明している。

まず合成関数の微分により、

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \{g(x)^{-1}\}' = -g(x)^{-2}g'(x) =-\,\frac{g'}{g^2}$$

であるから、積の微分により、

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \left(f\times\frac{1}{g}\right)' = f'\times\frac{1}{g} + f\left(-\,\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'g-fg'}{g^2}$$

となる。