4 指数関数

次は、$y=Ae^x$ ($A>0$) の $[0,a]$ ($a>0$) の範囲の 曲線長 $L=L_3(a,A)$ を求めてみる。

この場合は、$y'=Ae^x$ より、

  $$L_3(a,A) = \int_0^a\sqrt{1+A^2e^{2x}}\,dx$$ (14)

となるが、これは、 $\sqrt{1+A^2e^{2x}} = t$ と置換すれば分数式に変形できる。 $1+A^2e^{2x} = t^2$ より

$$x =\frac{1}{2}\log_{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize$e$}}\frac{t^2-1}... ...\log_{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize$e$}}A, \hspace{1zw}dx = \frac{t}{t^2-1}\,dt$$

となるから、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{L_3(a,A) \ =\ \int_{\sqrt{1+A^2}}^{\sqrt{1+A^2e^{2a... ...t-1}{t+1}\right\vert \right]_{\sqrt{1+A^2}}^{\sqrt{1+A^2e^{2a}}}\end{eqnarray*}$$

となるが、 $t=\sqrt{1+A^2e^{2a}}$ のとき、

$$\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\log_{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize$e$}}\left\vert\fr... ...A+a-\log_{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize$e$}}(\sqrt{1+A^2e^{2a}}+1)\end{eqnarray*}$$

なので、

  $$L_3(a,A) = \sqrt{1+A^2e^{2a}}-\sqrt{1+A^2}+a -\log_{\raisebox{-.5ex}{\scriptsize$e$}}\frac{\sqrt{1+A^2e^{2a}}+1}{\sqrt{1+A^2}+1}$$ (15)

となる。