4 1 以下の勾配への帰着

次に、1 以下の

に帰着させることを考える。そのためには、公式

$\begin{displaymath} \tan\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right)=\frac{1}{\tan\phi}\end{displaymath}$ (4)

や、 $\tan$ の加法定理

$\begin{displaymath} \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha... ...alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\end{displaymath}$ (5)

を用いる。公式 (4) は

$\begin{displaymath} \tan\left(\frac{\pi}{2}-\phi\right) =\frac{\sin(\pi/2-\phi)}{\cos(\pi/2-\phi)} =\frac{\cos\phi}{\sin\phi} =\frac{1}{\tan\phi} \end{displaymath}$

より得られるし、また $\tan$ の加法定理は、 $\sin$ , $\cos$ の加法定理から以下のようにして容易に得られる。

$\begin{eqnarray*}\tan(\alpha+\beta) &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+... ...} %\\ &=& = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\end{eqnarray*}$

(4) より、 $0<\theta<\pi/2$ に対して ()

$\begin{displaymath} \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) =\frac{1}{\tan\theta} =\frac{1}{H} \end{displaymath}$

であるから、

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{2}-\theta=\arctan\frac{1}{H}\end{displaymath}$ (6)

と求められることになる。すなわち、

のときは (3) と (6) のどちらを用いても

から $\theta$ を求めることができるので、

と

の小さい方を使って求めればよいことになる。

よって、ならば、に対して

$\begin{displaymath} \theta_2=\arctan H_2 \end{displaymath}$

とすれば、 $\theta=\pi/2-\theta_2$ として求められるし、 $H\leq 1$ ならそのまま (3) で求めることにすれば、これで、 $\arctan H$ の計算はどちらにしても $0\leq H\leq 1$ の場合に帰着されることになる。そしてこの場合は $\theta$ は $0\leq\theta\leq\pi/4$ となる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2009年1月18日