講義に関して出た質問と回答をここに上げておくことにします。
アンケートに書かれてあったものは基本的に
アンケートのページ
に書きますが、そのうちこちらに移動するかも知れません。
(06/02 2009)
それは、この講義の教科書からすると定義なので、 わからないと言われても困るのですが、 ただ、よく考えてみるとそういう質問が出る理由もありそうだったので、 それに対する回答のようなものを書いてみました。 以下を参照してください。
(06/02 2009)
最初の講義のときにもお話ししましたが、 この基礎数理 III は選択科目なので、 できるだけ本来の大学の講義の形にしたいと思っています。 よって、出席点はありません。 その理由については、 「なぜ出席を点数化しないのか」 (小テストのアンケートに対する回答 2006 年後期) も参照してください。
一応確認のために出席は取りますが、
それは成績とは一切関係ありません。
(06/02 2009)
これは教科書 p15 の (4.5) のことだと思いますが、 この部分は例年講義では説明していない内容ですが、 簡単に説明します。
\(\boldsymbol{a}\) は単位ベクトルなので、 単位ベクトル \(\boldsymbol{e}_1\) との内積を計算すると、 \(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{e}_1|=1\) なので、
\((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{e}_1) = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{e}_1|\cos\alpha = \cos\alpha\)となります。
一方、成分で内積を計算すれば、 \(\boldsymbol{a}\) の成分は \(\lambda,\mu,\nu\), \(\boldsymbol{e}_1\) の成分は (2.1) より 1, 0, 0 なので、
\((\boldsymbol{a}, \boldsymbol{e}_1) = \lambda\cdot 1+\mu\cdot 0+\nu\cdot 0 = \lambda\)となりますから、よって \(\cos\alpha=\lambda\) です。他も同様です。
2020 年度以降、講義の Web ページは Moodle が主になり、 そちらにその年度に受けた質問と回答を QandA のセクションに書きました。 それらをこちらに改めてまとめておきますが、 特に整理はしませんし、あくまで当時の回答なので、 以前のカリキュラムと内容が一部変わってしまって、 現在にはあてはまらない回答もあります。
(04/04 2025)1. 零ベクトルは 0 にスラッシュ (左上から右下への斜め線) を書けばいいですか。(2023-09-28)
→ それはだめです。工学のある分野では、 通常の 0 (スカラーの 0) を書くのにそういう書き方を使う場合があります。 だから、講義で板書しているように、0 に縦線を書いてください。 スラッシュはだめです。
2. B, b, F の左側に縦線を並べて書いてもベクトルと見ますか。(2023-09-28)
→ それでも結構です。ただ、あまり離れると、 1B (= 1×B) に見えてしまうので注意してください。
3. 縦線をアルファベットのどこに書くかはすべて覚えなければいけませんか。 (2023-09-28)
→ 基本的に左側に一本縦線を入れますが、 縦線らしいところが右側ならば右側でも結構です。 また、y や z のように縦線がない場合は、 斜め線に平行に斜め線を追加する形でも結構です。 とりあえず、縦線が入っていることを分かるように書けば結構です。
4. 復習問題の時間の欄に書くのは、かかった時間か残り時間か。(2023-10-06)
→ 自分がわかればいいので基本的にはどちらでもいいのですが、 1 回目と 2 回目の解答時間は違いますので、 かかった時間 (＝解答時間−タイマー表示時間) を書くのが筋でしょう。
5. ベクトルを図示する問題は定規を使用した方がよいか。(2023-10-13)
→ 使用しても構いませんが、むしろ使用しない方がいい場合もあります。 例えば、復習問題 no.3 [1] のように格子枠内に書く場合、 それが水平や鉛直なベクトルだと、 定規で書くと格子枠にピッタリ重なってしまい、 どこからのベクトルかわからなくなってしまうことがあります。 だから手書きで結構です。
6. F に縦線がついたものの読み方は何ですか。(2023-10-13)
→ 「ベクトルエフ」でしょうか。 ただ、ベクトルを意味していることが話者と聞き手が了解していれば 単に「エフ」でもいいでしょう。
7. 復習問題 no.3 の [2] は、a,b,x,y がベクトルであることが分かりづらいので、 上に矢印をつけるなど、明示してもらいたい。(2023-10-13)
→ これは、それも読み解く訓練でもあります。
(1) [2] に書かれている a,b が太字の a,b、すなわちベクトルなのか、 細字の a,b、すなわちスカラーなのかは、 絶対的な評価は難しいでしょうが、 例えばベクトルであることが確実である [1],[3] の問題の a,b と比較すれば、同じ太さの文字で書かれていることがわかり、 よってこれはベクトルなんだなと認識できます。
(2) 教科書の a,b の太字のレベルも、 復習問題の太字のレベルとほとんど違いはありません。 逆にいえば、どの本でもベクトルを太字で書いているものは、 この位の記法でベクトルであることを示しています。 だから、明示されなくても自分でそれを意識してそう読み解く必要があります。
(3) そもそも、今「ベクトル」を履修しているのですから、 ベクトルである可能性を意識すべきでしょう。 スカラーなんだとしたら、これは中学生レベルの問題になってしまいます。
ということで、今後も太字で書いて、 わざわざベクトルとは明記しない問題はありえますので注意してください。
なお、同様の質問が 2 名から来ていましたが、 いずれも復習問題の提出はありませんでしたので、 どのような間違いをしているのか、 どのような書き方をしているのかは確認できませんでした。
→ 第 4 回目の復習問題から、少しフォントを変えて、 太字がやや従来よりも太いものに変えてみます。 なお、それにより他のフォントも変わりますので、 別に見にくいところが出てくる可能性もあります。(2023-10-18)
8. 板書で、「ベ」を丸囲みで書いたのは、 「ベクトル方程式」という意味ですか。(2023-10-19)
→ 4 回目の講義で書いたのは、そういう意味です。
9. 小テストは何問ほどですか。(2023-10-26)
→ 回答に意味があると思いませんので回答しませんが、 時間は最初の 35 分程度です。
10. 正答例のファイルがダウンロードできません。(2023-11-02)
→ スマホでしょうか。とりあえず計算機実習室の PC でダウンロードしてみてください。 それでもだめならまた言ってください。 こちらでは、iPad の Safari でも、Windows の firefox, chrome, Edge, opera でもいずれも問題なくダウンロードできています。
11. なぜ授業中に友人に質問してはいけないのか。 教員に質問すればその分講義の時間が無駄になるのでは。(2023-11-09)
→ まず、大学の講義で最も優先されるべきは「勉強したい人」であり、 それを邪魔してはいけない、ということです。
もしある受講生が、他の受講生に質問をすれば、 その聞かれた人が勉強をする時間を邪魔することになりますし、 あなたの回りの受講生の勉強する時間を邪魔することになります。 我々教員は、勉強したい人の静音状況を確保しなければいけないので、 私語は禁止、授業中は友人に質問しないように、としているわけです。 映画館だって私語をしていれば、金を払っていたとしてもたたきだされるでしょう。
一方、授業中に教員に質問することは間違いではありません。 ある人がわからないことは、他の人も分からない可能性があるので、 質問や間違いを見つければ、むしろ積極的に手をあげて教員に質問すべきです。 ただ、最近の学生は授業中に手を挙げて発言する人はほとんどいないので、 そのために私は毎回質問用紙を用意して、そしてそこに書いてあった質問は、 皆が見えるようにここに回答をあげて、 授業中に質問された場合と同じ状況を作っているわけです。
質問によっては、教員への質問が授業の妨げになる場合もあるかもしれませんが、 そういう場合も、質問用紙に書いてもらうことにしています。
どうしても友人に質問したいなら、授業後に行うか、 その人と講義室を出て行って、講義室の外で質問してください (その友人が許可すればですが)。
なお、これはあくまで私の講義の話であり、 授業中に友人同士の話を許可している授業や教員もあるでしょう。 その場合はそれに従ってください。
12. 行列 A に対して、\(A^{1/2}\) や \(A^{1/3}\) はあるのですか。(2023-11-30)
→ はい、あります。実数と同じで、自然数 n に対し、 \(B^n=A\) となる行列 B を \(B=A^{1/n}\) と定義することがあります。 ただし、あまり簡単ではないので、 普通の線形代数や行列の本には書いてありません。 進んだ数学では、さらに一般の実数乗 \(A^p\) や、 e の行列乗 \(e^A\) などを使うこともあります。
13. 板書を書ききれないので代わりに写真を撮っていいですか。(2023-12-07)
→ 特別な配慮を必要とする学生以外については、 そういうことを私は許可はしていません。
それを許可すると、多くの学生が安易な方に流れて、 写真だけ撮って話を手を動かさずに聞くようになりますが、 それは、ノートのコピーを配布して、 私が一人で説明しているのと同じことになります。 それで内容が頭に入るかというと、実はほとんど入りません。 脳がそういう風にはできていないのです。 わからないことを聞いているだけでは、ほとんど記憶には残りません。 ノートを取るために手を動かす、ということはかなり大事な作業なのです。 過去に私が手を怪我した際に、 実際にノートを配布してそれを説明する授業をしたことがありますが、 ほとんどの学生が寝てました。 集中力を保つためにもノートを取ることは意味があるのです。
復習問題や演習問題でも、答えを見ながら解いている人がいますが、 それだと記憶に残りません。 わからないなりに一度考える、ということにより正解が記憶に残りやすくなります。 そして、少し忘れた頃にまたやってみることにより、 より記憶は定着しやすくなります。
古来から「幾何に王道なし」というように、勉強に楽な方法はありません。 苦労して初めて身につくものだと思ってください。
14. 復習問題第10回の[1] ですが、 \(A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\) と置いて A の転置の逆行列を計算する、という方法ではいけないのでしょうか。 (2023-12-07)
→ 2 次の場合はそれでよくても 3 次以上の証明にはなっていません。 問題は 2 次と断ってはおらず、よってすべての正方行列に対する問題です。
1. 幾何ベクトルの矢印の矢先 (終点) は三角に塗りつぶさなければならないのか。 (2024-09-24)
→ ベクトルの矢先 (終点) は、(1) 両足を広げた 2 本の線をかくかき方、 (2) 三角をかくかき方、 (3) 三角をかいてその中を塗りつぶすかき方、 などがあります。私は (3) や (1) でかくことが多いですが、 通常は (1),(2),(3) いずれでも結構です。
ただし、複数のベクトルの矢先が一点に集まっている場合は (1) だとそれがどの矢先の線なのかわかりにくいときがあります。 そういう場合は (2),(3) のかき方がいいかもしれません。
2. \(\vec{AB}\) に等しいベクトルを求めよ、 という問題では \(\vec{AB}\) を入れないと不正解になるか。(2024-09-24)
→ 他ができていても \(\vec{AB}\) が入ってない場合は減点します。
3. ベクトルを太字にする縦線は、上下に少し飛び出ても構わないか。(2024-10-01)
→ 出すぎると他の文字と紛らわしくなる可能性もありますので、 あまり出ないようにしてください。少しだけなら大丈夫です。
1. 「ABCD が平行四辺形 \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{DC}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)」 と書いていましたが、\(\Leftrightarrow\) はどういう意味ですか。(2025-09-30)
→ 「\(p \Leftrightarrow q\)」は、数学では「p と q は同値」、 すなわち p が q であることの必要十分条件であることを意味するのに 使われる記号です。
よって上の「\(p \Leftrightarrow q \Leftrightarrow r\)」は、 p と q が同値で、かつ q と r が同値、という意味になります。
2. 「\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) に等しいベクトル」には \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) 自身も含まれるのですか。 (2025-09-30)
→ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) なので、 論理的にはそれ自身が含まれるのが自然です。 「\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と異なるベクトルで」 とでも書かれていれば別ですが、 そうでなければ入れない方がむしろ不自然です。
3. 復習問題と授業の例題を理解していれば、テストは何点位とれるか。 (2025-11-04)
→ これは、「最低限、復習問題と授業の例題を理解した場合」 ということだと思いますが、 これだけの条件で一概に何点取れるとは言えません。 理由は、例えば以下の通りです。
4. 線形代数の別クラスの方は試験対策問題が渡されるので 点数がとりやすいのでは。(2025-11-25)
→ そうかもしれませんが、私はそのようなことをするつもりはありません。
試験対策問題を渡せば、そこしか勉強しなくなります。 実際、「授業を休んだ人でも試験対策問題があれば 100 点取れる」 とか書いてありましたが、 授業聞いていない人が高得点を取れるのは正しい評価と言えるでしょうか。
試験にでるのは全体のある部分だけであって、 講義内容すべてが出せるわけではありません。 その試験に出る一部分だけを知ればよくて、 あとは知らなくても覚えなくてもいい、ということはありません。
そもそも「試験対策」とは、教員がするべきことではなく、 あなたたち受講者があるべきことでしょう。
それに、私は毎回復習問題を渡していますが、 II クラスではそのようなことはしてないそうです。 それはむしろ II クラスよりも親切だとも言えるんじゃないでしょうか。
ちなみに、復習問題と正答例のプリントは Moodle にもあげていて、 休んだ人も事前に入手できるようにしてあります。
そもそも、ある先生のやり方が学生にとって都合がいいから、 そのやり方をこちらでもやれ、 というのは学生のエゴかなと思います。 「幾何に王道なし」という言葉をご存知でしょうか。 勉強に限りませんが、楽をすれば身につく、ということはなく、 むしろ苦労を多くした方が身につくものです。
5. 講義中の例と復習問題を組み合わせた問題のできは悪かった。(2025-11-25)
→ 「講義中に紹介した例、および復習問題を良くさらっておいてください」 と事前に通告していました。復習問題だけやっていればよい、 と言ったつもりはありません。
また、「復習プリントが 4 枚」と書いてありましたが、 試験範囲の 5 回の講義分、復習問題のプリントも 5 回分渡してあります。
6. テストの難易度や点数に I クラスと II クラスで差がかなりあるのでは。 (2025-11-25)
→ そうは思いません。そもそも今の時点での比較は無理です。
それに、違う教員が担当している以上、ある程度差があるのは当然のことです。 日本のどの大学でも、どの高校でも、教える教員はクラスによって違うし、 教え方も違うので差が出るのは当然のことです。 そして、それらは全国的に許容されています。
あるクラスだけ、合格者数に相当の差がでれば別ですが、 例年そんなに差は出ていません。
7. テストの点数は教えてもらえないのか。(2025-11-25)
→ 最終的な点数は公開しますが、 点数を現時点で公開するつもりはありません。 元々答案の返却は、自分のどこが間違えているのか、を確認するためのもので、 点数を確認してそれで終わり、というのが一番意味がない答案の見方です。 点数は自分でだいたいおおまかにわかればいいんじゃないかと思います。
そもそも、小テストの点数がはっきりわかったとして、 期末テストで例えばあと 20 点取ればいいとなったとしても、 20 点を丁度取るなんてことはできないですよね。 点数は結果にしかすぎないと思います。
そもそもテストの点数を気にしすぎではないでしょうか。点数は結果にすぎず、 むしろ講義の内容を身につけることこそが今皆さんがやるべきことです。 大学の授業の内容は、受験などのテストのためにあるわけではありません。 このあと社会に出たときに使えるために身につけるものです。 点数を優先すると目的を見誤ります。
「GPA が」とも書いてありましたが、 GPA が目的になってはいけないと思います。 例えば GPA を優先して点数のとりやすい科目ばかり履修するのは、 決していいことではありません。
8. §12,13,14 は講義で行いますか。(2025-12-02)
→ 「講義で行いますか」という意味が良くわかりませんが、 講義で説明するか、という意味であれば、 §12 (三角行列) は、「上三角行列」 「下三角行列」 という言葉だけ口頭で説明しました。それくらいは覚えておくといいでしょう。
§13 (順列の符号) は、説明もしませんし、この後一切使いません。
§14 (行列式の定義) は、(14.1) の定義を使わない、というだけで、 §14 に書いてある話は今後説明します。 (14.1) についても、 この式で行列式を計算することはしませんが、 後で少しだけ式の意味について触れます。