8.3 例 3

$$A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{-2}\\ {2}&{-2}&{-1}\\ {2}&{1}&{2}\end{array}\right]$$

これは、

$$\begin{eqnarray*}9A\,{}^T\!{A} &=& \left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{-2}\\ {2... ...1}&{4-2-2}\\ {2+2-4}&{4-2-2}&{4+1+4}\end{array}\right] \ =\ 9E\end{eqnarray*}$$

となるので $A$ は直交行列。

$$\left\vert\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{-2}\\ {2}&{-2}&{-1}\\ {2}&{1}&{2}\end{array}\right\vert =-4-4-4-8+1-8=-27$$

なので、$\vert A\vert=-1$、よって $A$ は回転 + 反転 ( $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ は左手系)。

$$A+E=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}{4}&{2}&{-2}\\ {2}&{1}&{-1}\\ {2}&{1}&{5}\end{array}\right]$$

より、$\lambda=-1$ に対する固有ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$ は、

$$\left\{\begin{array}{ll} 4n_1+2n_2-2n_3 &=0\\ 2n_1+n_2-n_3 &=0\\ 2n_1+n_2+5n_3 &= 0\end{array}\right.$$

より、$2n_1+n_2=0$, $n_3=0$ となるので、

  $$\mbox{\boldmath$n$}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}{1}\\ {-2}\\ {0}\end{array}\right]$$ (57)

となる。この $\mbox{\boldmath$n$}$ に関する反転行列 $B$ は、(38) より、

$$\begin{eqnarray*}B &=& E-2\mbox{\boldmath$n$}\,{}^T\!{\mbox{\boldmath$n$}} = E-... ...cc}{3}&{4}&{0}\\ {4}&{-3}&{0}\\ {0}&{0}&{5}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。よって $A$ の回転部分 $BA$ は、

$$\begin{eqnarray*}BA &=& \frac{1}{15}\left[\begin{array}{ccc}{3}&{4}&{0}\\ {4... ...{-2}&{-10}\\ {-2}&{14}&{-5}\\ {10}&{5}&{10}\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。一応行列式を計算してみると、

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\begin{array}{ccc}{11}&{-2}&{-10}\\ {-2}&{14}&{-5}\... ...}\right\vert \\ &=& 45(70-2+7) \ =\ 45\times 75 \ =\ 15^3\end{eqnarray*}$$

より、確かに $\vert BA\vert=1$ となり、 $\mbox{\boldmath$n$}$ は $BA$ の回転軸ベクトルとなる。

$\mbox{\boldmath$n$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi,\theta)$ とすると、 $\sin\theta=0$ より $\theta=0$, $\cos\theta=1$、

$$\cos\phi=\frac{1}{\sqrt{5}},\hspace{1zw}\sin\phi=-\,\frac{2}{\sqrt{5}}$$

となり、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$\hat{n}$} &=& \left[\begin{array}{c}{\cos\phi... ...zw} \sin\psi = \frac{\ell_3}{\cos\theta} = \frac{\sqrt{5}}{3}\end{eqnarray*}$$

となる。

$$BA = A_z(\phi')A_y\left(\frac{\pi}{2}-\theta'\right)A_z(\psi')$$

の回転角は、 $\mbox{\boldmath$c$}=\,{}^T\!{(-2/3,-1/3,2/3)}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi',\theta')$ より

$$\begin{eqnarray*}\sin\theta' &=& \frac{2}{3}, \hspace{1zw}\cos\theta' = \sqrt{1... ...}} \hspace{1zw}\left(\psi'=2\pi-\phi'=\frac{5\pi}{2}-\phi\right)\end{eqnarray*}$$

となる。