8.2 例 2

$$A=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-8}&{-4}\\ {4}&{4}&{-7}\\ {8}&{-1}&{4}\end{array}\right]$$

これは、

$$\begin{eqnarray*}81A\,{}^T\!{A} &=& \left[\begin{array}{ccc}{1}&{-8}&{-4}\\ ... ...-28}\\ {8+8-16}&{32-4-28}&{64+1+16}\end{array}\right] \ =\ 81E\end{eqnarray*}$$

となるので $A$ は直交行列。

$$\left\vert\begin{array}{ccc}{1}&{-8}&{-4}\\ {4}&{4}&{-7}\\ {8... ...}&{0}&{0}\\ {4}&{8}&{-7}\\ {8}&{7}&{4}\end{array}\right\vert =9(32+49)=9^3$$

なので、$\vert A\vert=1$ となり $A$ は回転変換。

$$A-E=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}{-8}&{-8}&{-4}\\ {4}&{-5}&{-7}\\ {8}&{-1}&{-5}\end{array}\right]$$

より、 $\mbox{\boldmath$n$}=\,{}^T\!{(n_1,n_2,n_3)}$ は、

$$\left\{\begin{array}{ll} 8n_1+8n_2+4n_3 &=0\\ 4n_1-5n_2-7n_3 &=0\\ 8n_1-n_2-5n_3 &= 0\end{array}\right.$$

より、$n_2+n_3=0$, $2n_1+n_2=0$、よって

  $$\mbox{\boldmath$n$}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}{1}\\ {-2}\\ {2}\end{array}\right]$$ (56)

となる。これを $\mbox{\boldmath$p$}(\phi ,\theta )$ とすれば、

$$\begin{eqnarray*}\sin\theta &=& \frac{2}{3}, \hspace{1zw}\cos\theta = \sqrt{1-\... ...\phi = -\,\frac{2}{3}\,\frac{3}{\sqrt{5}} = -\,\frac{2}{\sqrt{5}}\end{eqnarray*}$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$\hat{n}$} &=& \left[\begin{array}{c}{\cos\phi... ...}{-2}\\ {4}\\ {5}\end{array}\right] = -\mbox{\boldmath$\hat{n}$}\end{eqnarray*}$$

となるので、 $m_3=-\cos\psi\cos\theta=0$ より $\cos\psi=0$, $\ell_3=\sin\psi\cos\theta=5/(3\sqrt{5})$ より $\sin\psi=1$, よって $\psi=\pi/2$ となるので、$A$ は回転軸ベクトル $\,{}^T\!{(1/3,-2/3,2/3)}$ の回りの $\pi/2$ 回転となる。

軸回転角は、 $\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$p$}(\phi',\theta')$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\sin\theta' &=& \frac{4}{9}, \hspace{1zw}\cos\theta' = \sqrt{1... ...} = -\,\frac{1}{9}\,\frac{9}{\sqrt{65}} =-\,\frac{1}{\sqrt{65}}\end{eqnarray*}$$

となる。

なお、 $\bar{\phi}=\phi'-\pi\in(0,\pi/2)$, $\bar{\psi}=\psi'-\pi\in(0,\pi/2)$ と すると、

$$\cos(\bar{\phi}-\bar{\psi})=\frac{32}{65} +\frac{7}{65}=\frac{3}{5}$$

となるので、 $\bar{\phi}-\bar{\psi}$ は 3:4:5 の直角三角形の 真ん中の角に等しい。