8.1 例 1
これは、
となるので
は直交行列。
なので、
となるので、回転変換の行列になっている。
より、単位固有ベクトル (回転軸ベクトル)
は、
を満たすので、
,
、よって
![$\displaystyle
\mbox{\boldmath$n$}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}{0}\\ {-2}\\ {1}\end{array}\right]$](img365.png)
(
52)
と取れる。次は、回転角
を計算する。
とすると、
で、
となる。よって、
となるから、
となり、
,
より
![$\displaystyle
\cos\psi=-\,\frac{m_3}{\cos\theta}
=\frac{4}{7\sqrt{5}}\,\frac{...
...rac{\ell_3}{\cos\theta}
=\frac{6}{7}\,\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{7}$](img372.png)
(
53)
となる。よって、(52) が回転軸 (
平面内)、
(53) の
(
) が
回転角となる回転変換を表すことになる。
次に、この回転を、
の軸回転
で表現する角を求めてみる。(43) より
とすれば
より
![$\displaystyle
\sin\theta'=\frac{3}{7},
\hspace{1zw}
\cos\theta'=\sqrt{1-\,\frac{9}{49}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$](img379.png)
(
54)
となり、
![$\displaystyle
\cos\phi'=-\,\frac{6}{7}\,\frac{7}{2\sqrt{10}} = -\,\frac{3}{\sq...
...e{1zw}
\sin\phi'=-\,\frac{2}{7}\,\frac{7}{2\sqrt{10}} = -\,\frac{1}{\sqrt{10}}$](img380.png)
(
55)
で、(45) より
となり、よってこの場合は
(
) となる。
なお、
とすると、
より、
となるので、
は、3:4:5 の直角三角形の最小角の半分になる。
竹野茂治@新潟工科大学
2021-09-01