1 はじめに

[1] では、エルミート行列、歪エルミート行列の、 ユニタリ行列による対角化と、 対称行列と交代行列の直交行列による標準形への変形を紹介した。

一方で、この対角化、標準形については、次のことも良く知られている。

• [A] 直交行列が、ユニタリ行列により対角化できること
• [B] 直交行列が、直交行列によりある標準形に変形できること
• [C] ユニタリ行列で対角化できる行列は、正規行列であること
• [D] 実正規行列が、直交行列によりある標準形に変形できること

これらは、いくつかの本や資料などで既に紹介されているのだが (例えば [2], [3], [4])、 [1] の続きとして本稿にまとめておく。

なお、直交行列を含むユニタリ行列、対称行列を含むエルミート行列、 交代行列を含む歪エルミート行列は、いずれも正規行列であり、 実際 [A] は [C] に、[B] は [D] に含まれ、[C],[D] を示せば、 そこから [A],[B] は導かれる。 また、[1] で紹介したエルミート行列、歪エルミート行列の 対角化や、対称行列、交代行列の標準形への変形も実は上の [C],[D] に 含まれ、[C],[D] を示せば、[1] の内容もほぼすべて 得られることになる。

よって本稿は、[C],[D] を示すことを目標とする。

なお、本稿で使用する用語、記号、定理等は [1] のものを 使用する。