5 列の入れ換え

定理 5

$A$ の $i$ 列目と $j$ 列目を入れかえた行列 $\tilde{A}$ ($i<j$) に対して、

$$\vert\tilde{A}\vert=-\vert A\vert$$ (13)

これも、定理 3 と同様にして示される。

4 節と同様の計算によって $i$ 列と $j$ 列 ($i<j$) での展開を行えば、

$$\begin{eqnarray*}\vert A\vert &=& \sum_{p=1}^n (-1)^{p+j}a_{pj}\Delta_{pj}(A)... ...-1}\sum_{k=p+1}^{n} (-1)^{p+j+k+i-1}a_{pj}a_{ki}\Delta_{pj,ki}(A)\end{eqnarray*}$$

となる。 ここで、簡単のため、 $$\sum_{p=2}^n \sum_{k=1}^{p-1}$$ と $$\sum_{p=1}^{n-1} \sum_{k=p+1}^n$$ を、それぞれ $$\sum_{p>k}$$, $$\sum_{p<k}$$ と書くことにすれば、

$$\vert A\vert =\sum_{p>k} (-1)^{p+j+k+i}a_{pj}a_{ki}\Delta... ...ki}(A) -\sum_{p<k} (-1)^{p+j+k+i}a_{pj}a_{ki}\Delta_{pj,ki}(A)$$ (14)

となる。

$\tilde{A}=[\tilde{a}_{pq}]$ にこの (14) と同じ計算を行えば、

$$\vert\tilde{A}\vert =\sum_{p>k} (-1)^{p+j+k+i}\tilde{a}_{pj... ...{p+j+k+i}\tilde{a}_{pj}\tilde{a}_{ki}\Delta_{pj,ki}(\tilde{A})$$

となるが、$\tilde{A}$ は、$A$ の $i$ 列と $j$ 列を入れ換えた行列であるから、

$$\tilde{a}_{pj}=a_{pi}, \hspace{1zw}\tilde{a}_{ki}=a_{kj}, \h... ...}\Delta_{pj,ki}(\tilde{A})=\Delta_{pj,ki}(A)=\Delta_{kj,pi}(A)$$

であり、よって

$$\vert\tilde{A}\vert =\sum_{p>k} (-1)^{p+j+k+i}a_{pi}a_{kj}\... ...pi}(A) -\sum_{p<k} (-1)^{p+j+k+i}a_{pi}a_{kj}\Delta_{kj,pi}(A)$$

となる。この $p$ と $k$ を入れ換えて書けば、

$$\begin{eqnarray*}\vert\tilde{A}\vert &=& \sum_{k>p} (-1)^{k+j+p+i}a_{ki}a_{pj... ... -\sum_{k>p} (-1)^{p+j+k+i}a_{pj}a_{ki}\Delta_{pj,ki}(A)\right\}\end{eqnarray*}$$

となるが、(14) よりこれは $-\vert A\vert$ に等しい。 これで定理 5 が証明されたことになる。

また、この定理 5 より、次のこともすぐにわかる。

系 6

2 つの列が等しい行列式の値は 0 となる。