4 3 次の正方行列の場合

3 次の正方行列 $A$ の場合は、固有多項式 $f_A(x)$ を

$$f_A(x)=x^3-ax^2-bx-c$$

とすれば、ケイリー・ハミルトンの公式は

  $$A^3 = aA^2+bA+cE$$ (7)

となるので、$A^2$ の積の計算は必要だが、$A^n$ は

  $$A^n = a_nA^2+b_nA+c_nE$$ (8)

の形で表すことができる。やり方は 2 次の場合と同様である。 この係数の漸化式を求めると、

$$\begin{eqnarray*}A^{n+1} &=& a_{n+1}A^2+b_{n+1}A+c_{n+1}E \\ &=& A(a_nA^2+b_... ...(aA^2+bA+cE)+b_nA^2+c_nA \\ &=& (aa_n+b_n)A^2+(ba_n+c_n)A+ca_nE\end{eqnarray*}$$

となるので、漸化式は、

  $$a_{n+1}=aa_n+b_n,\hspace{1zw}b_{n+1}=ba_n+c_n,\hspace{1zw}c_{n+1}=ca_n,\hspace{1zw}(a_1,b_1,c_1)=(0,1,0)$$ (9)

となって、これを使えば順次係数が決定できる。 例えば、

$$A = \left[\begin{array}{rrr}1&2&3\\ 3&0&-2\\ 0&-1&4\end{array}\right]$$

の場合、固有多項式は、

$$\begin{eqnarray*}f_A(x) &=& \vert xE-A\vert = \left\vert\begin{array}{ccc}... ...-6(x-4) \\ &=& x^3-5x^2+4x+9-2x+2-6x+24 \\ &=& x^3-5x^2-4x+35\end{eqnarray*}$$

となるので、 $A^3-5A^2-4A+35E=O$, すなわち、

$$A^3=5A^2+4A-35E$$

となるから、(8) の係数は、漸化式

$$a_{n+1}=5a_n+b_n,\hspace{1zw}b_{n+1}=4a_n+c_n,\hspace{1zw}c_{n+1}=-35a_n, \hspace{1zw}(a_1,b_1,c_1)=(0,1,0)$$

によって求められることになる。