2 sin x, cos x の微分

まず、関数 $y=f(x)$ の導関数の定義は

$$y'= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

である。ここで、$\Delta y$ は $x$ の増加分 $\Delta x$ に対する $y$ の増加分を表していて、$f$ を使って書き表すと、 $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$ となる。

さて、三角関数 $\cos \theta$、$\sin \theta$ ($\theta$ の単位はラジアン) の値は、単位円の中心角 $\theta$ に対する円周上の点の $x$ 座標と $y$ 座標で 与えられることを思い出す (図 1)。

図 1: $\sin \theta$, $\cos \theta$ と単位円

図 2: $\Delta \theta$, $\Delta x$, $\Delta y$

よって、$\cos \theta$、$\sin \theta$ の導関数は、それぞれ

$$\Delta x = \cos(\theta+\Delta\theta)-\cos\theta,\hspace{1zw} \Delta y = \sin(\theta+\Delta\theta)-\sin\theta$$

と $\Delta \theta$ との比の極限によって得られる (図 2):

$$(\cos\theta)' = \lim_{\Delta\theta\rightarrow 0}\frac{\Delta... ... \lim_{\Delta\theta\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta\theta}$$

図 2 上では $\Delta x$ は $x$ 方向の移動幅 (負の値)、$\Delta y$ は $y$ 方向の移動幅 として表されていて、$\Delta \theta$ は角度変化分であるが、弧度法の角度と 弧の長さの関係から、$\Delta \theta$ は移動した分の弧の長さにも 等しいことがわかる。

そして、$\Delta \theta$ を 0 に近づけて行くとき、$\Delta \theta$ が 0 に 近ければ、この $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta \theta$ (図 2) は、 弧の部分を、点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ での接線で置き換えた図で 考えたもので近似できる (図 3)。

図 3: 弧を接線で近似

図 4: 三角形 PQR

この、接線で近似した図 4 の三角形 PQR を考える。 この三角形 PQR は、$\angle$R が直角の直角三角形であり、 $\angle$P は $\theta$ に等しく

$$% latex2html id marker 877 \mathrm{PR}\approx\Delta y, \hsp... ...ig:enlarge} では、} \Delta y>0, \Delta x<0, \Delta\theta >0)$$

となっている。よって、

$$\frac{\Delta x}{\Delta\theta}\approx -\frac{\mathrm{QR}}{... ...elta\theta}\approx \frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}=\cos\theta$$ (2)

となり、 $\Delta\theta\rightarrow 0$ のとき、この近似は厳密に等しい 等号になると考えられる。ゆえに

$$(\cos\theta)'=\lim_{\Delta\theta\rightarrow 0} \frac{\Delta ... ...a\theta\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta\theta}=\cos\theta$$

となる。