3 tan x の微分

同様の考え方で、$\tan x$ の導関数も考えることができる (図 5)。

図 5: $\tan x$ の微分

この場合、D の $y$ 座標が $\tan\theta$, F の $y$ 座標が $\tan(\theta+\Delta\theta)$ なので、 $z=\tan\theta$ の増分は、

$$\Delta z = \tan(\theta+\Delta\theta)-\tan\theta = \mathrm{DF}$$

となる。 一方、扇形 OBC と ODE は相似で、OB:OD=$\cos \theta$:1 より、

$$\mbox{弧} \mathrm{DE} = \frac{\mbox{弧} \mathrm{BC}}{\cos\theta} = \frac{\Delta\theta}{\cos\theta}$$

であり、$\Delta \theta$ が 0 に近ければ、 $\angle$ODE と $\angle$OED は直角に近く、 DEF も $\angle$E が直角の直角三角形で近似できる。 この場合、$\angle$EDF もほぼ $\theta$ に近いので、よって

$$\mathrm{FD}\cos\theta \approx \mathrm{DE} \approx \frac{\De... ...pace{1zw} \mathrm{FD}\approx \frac{\Delta\theta}{\cos^2\theta}$$

が得られる。ゆえに

$$\frac{\Delta z}{\Delta\theta} \approx \frac{1}{\cos^2\theta}$$

となり、その極限として $(\tan\theta)' = 1/\cos^2\theta$ が 得られることになる。