3 予想の証明

次は、漸化式 (1)、および微分の関係式 (5) を 用いて、前節の予想 (7) を証明する。

(1) に (5) を代入すると

  $$\hat{f}_{k+1}=(2k+1)\hat{f}_k-t\hat{f}_k' \hspace{1zw}(k\geq 0)$$ (8)

となるから、両辺 $t^{2k+2}$ で割ると、

$$\frac{\hat{f}_{k+1}}{t^{2k+2}} = \frac{2k+1}{t^{2k+2}}\,\hat{f}_{... ...- \,\frac{1}{t^{2k+1}}\,\hat{f}_k' = -\left(\frac{\hat{f}_k}{t^{2k+1}}\right)'$$

となり、よって

  $$\frac{\hat{f}_{k+1}}{t^{2k+3}} = -\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\hat{f}_k}{t^{2k+1}}\right)$$ (9)

となるので、これを繰り返し用いれば、

$$\begin{eqnarray*}\frac{\hat{f}_{k}}{t^{2k+1}} &=& -\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt... ... &=& \left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^k\frac{\sin t}{t}\end{eqnarray*}$$

が得られ、これで (7) が示されたことになる。 なお、

$$\frac{\sin t}{t} = -\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\cos t$$

なので、(7) は、

  $$\hat{f}_k(t) = t^{2k+1}\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\righ... ...rac{\sin t}{t} = t^{2k+1}\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^{k+1}\cos t$$ (10)

と書くこともできる。$\hat{g}_n(t)$ は、(1) より、 $k\geq 1$ に対しては、

  $$\hat{g}_k(t) = t\hat{f}_{k-1} = t^{2k}\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^{k}\cos t$$ (11)

と書けることになるが、これは (2) より $k=0$ でも 成立するので、(11) は $k\geq 0$ に対して成り立つ。

なお、$\hat{g}_k$ に対しても (8) と同様の漸化式を 導くこともでき、そこから $\hat{f}_k$ と同様にして (11) を 得ることもできる。

結局、(3), (10), (11) より、 $f_k$, $g_k$ を 1 本で表現する以下の式が得られた。

	$$f_k(t)$$	$=$	$$\frac{t^{2k+1}}{2^k k!}\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^... ... \cos t \ =\ \frac{\sqrt{\pi}}{k!}\left(\frac{t}{2}\right)^{k+1/2}J_{k+1/2}(t)$$	(12)
	$$g_k(t)$$	$=$	$$\frac{t^{2k}}{2^k k!}\left(-\,\frac{1}{t}\,\frac{d}{dt}\right)^{k} \cos t \ =\ \frac{\sqrt{\pi}}{k!}\left(\frac{t}{2}\right)^{k+1/2}J_{k-1/2}(t)$$	(13)