8 ｘ→１＋０ の評価の精密化

6 節、7 節で $H_{\pm }$ の $x\rightarrow 1\pm 0$ の評価を調べたが、 気体の方程式で必要な評価は、 $\beta+\gamma=Q$ が整数の場合であり、 さらに $Q\leq 0$ の場合は最悪の部分の評価だけでなく、 定数値までの展開が必要になる。 本節と次節で、 $Q=\beta+\gamma\in\mbox{\boldmath$Z$}$, $Q\leq 0$ の場合に対して、 $x\rightarrow 1\pm 0$ の評価のそのような精密化を行う。

$n=-Q = -\beta-\gamma$ とし、本節では

$$H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,\gamma)=H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)$$

について考える ($\alpha>0$, $\beta>0$, $\varepsilon >0$)。 今のところ、(40), および (39) により、

  $$H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) =\left\{\begin{arra... ...psilon ^{-n}(\mathop{\mathit{B}}(\beta,n)+o(1)) & (n\geq 1) \end{array}\right.$$ (43)

は得られている。この後者の $n\geq 1$ の方を、

  $$H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) = \sum_{j=1}^n\frac{A^{+}_j}{\varepsilon ^j}+B^{+}\log\varepsilon + A^{+}_0 + o(1)$$ (44)

の形に展開することが本節の目標である。 ここで $A^{+}_j$, $B^{+}$, $A^{+}_0$ は $\varepsilon$ によらない定数。 なお、気体の方程式で必要なのは、$n=1$ までであるが、 ここでは一般の自然数 $n$ に対して考える。

$y=1-t$ により、

$$H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) =\int_0^1(1-t)^{\alpha-1}t^{\beta-1}(\varepsilon +t)^{-\beta-n}dt$$

となるが、 $\varepsilon \rightarrow +0$ のときに $t=0$ での order が $t^{-n-1}$ となってしまうので、このままでは極限が取れない。 よって、 $(1-t)^{\alpha-1}$ の部分を $t=0$ で展開して、$n+1$ 次に なる項と多項式に分離する。すなわち、

  $$J(t) = J(t;n,\alpha) = (1-t)^{\alpha-1}-\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)(-1)^kt^k$$ (45)

とすると、$t=0$ の近くでは $J(t)=O(t^{n+1})$ で、これにより、 $H_{+}$ を以下の 2 つに分ける。

	$${H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)}$$
		$=$	$$\int_0^1J(t)t^{\beta-1}(\varepsilon +t)^{-\beta-n}dt +\sum_{k=0}^... ...\!\!k\!\! \end{array}\right)\int_0^1t^{\beta+k-1} (\varepsilon +t)^{-\beta-n}dt$$
		$=$	$$I_5 + I_6$$	(46)

まず、$I_6$ の各積分を考える。 $k\leq n-1$ の場合、 $t\rightarrow\infty$ の order は $-n+k-1\leq -2$ なので可積分であり、よって積分を

$$\int_0^1t^{\beta+k-1}(\varepsilon +t)^{-\beta-n}dt = \int_0^\infty - \int_1^\infty = I_{6,k,1} - I_{6,k,2}$$

に分け、$I_{6,k,1}$ に対しては $t=\varepsilon (1-s)/s$ と置換すると

$$I_{6,k,1} =\varepsilon ^{k-n}\int_0^1s^{n-k-1}(1-s)^{\beta+k-1}ds =\frac{\mathop{\mathit{B}}(n-k,\beta+k)}{\varepsilon ^{n-k}}$$

となるが、

$$\begin{eqnarray*}\mathop{\mathit{B}}(n-k,\beta+k) &=& \frac{\mathop{\mathit{\... ...n{array}{c} \!\!\beta+n-1\!\! \\ \!\!n-k\!\! \end{array}\right)}\end{eqnarray*}$$

なので、$k<n$ に対しては、

$$I_{6,k,1} = \frac{1}{(n-k)\left(\begin{array}{c} \!\!\beta+n-1\!\! \\ \!\!n-k\!\! \end{array}\right)}\frac{1}{\varepsilon ^{n-k}}$$

となる。$I_{6,k,2}$ の方は、$\beta>0$ より $(\varepsilon +t)^{-\beta-n}\leq t^{-\beta-n}$ なので、ルベーグ収束定理より

$$I_{6,k,2}=\int_1^\infty t^{k-n-1}dt + o(1) = \frac{1}{n-k}+o(1)$$

となる。$k=n$ の項は、 $t=\varepsilon (1-s)/s$ と置換すれば

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\int_0^1t^{\beta+n-1}(\varepsilon +t)^{-\beta-n}dt \ ... ...lon }{1+\varepsilon } \ =\ M(\beta+n) - \log\varepsilon + o(1)\end{eqnarray*}$$

となるので、結局 $I_6$ は、

	$$I_6$$	$=$	$$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k}{n-k}\frac{\displaystyle \left(\begi... ...egin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)\log\varepsilon$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end... ...\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right) + o(1)$$	(47)

となる。

$I_5$ に関しては、 $0\leq t\leq 1/2$ では $J(t)=O(t^{n+1})$ なので ルベーグ収束定理により $0\leq t\leq 1/2$ の積分はそのまま $\varepsilon \rightarrow +0$ とできる。 また、 $1/2\leq t\leq 1$ では $(\varepsilon +t)^{-\beta-n}\leq t^{-\beta-n}$ で、 $J(t)t^{-1-n}$ は可積分だから、やはりそのまま極限が取れる。 よって、$I_5$ は

  $$I_5 \rightarrow \int_0^1 \frac{J(t)}{t^{n+1}}dt = I_7(n,\alpha)$$ (48)

となる。あとはこの $I_7$ を求めればよい。 このあと使用するものを以下にまとめて補題として示す。

補題 4

1. $\alpha>0$ に対して、 $$M(\alpha+1)=M(\alpha)-\frac{1}{\alpha}$$
2. $M(1)=0$
3. $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha\!\! \\ \!\!k... ... (-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)$$
4. $\alpha>0$, $n\geq 0$ に対して、 $$I_7(n,\alpha)=(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha)-M(n+1))$$

証明

1. $$M(\alpha+1)-M(\alpha) =\int_0^1\frac{(1-t)^\alpha-(1-t)^{\alpha-1}}{t}dt =-\int_0^1(1-t)^{\alpha-1}dt = -\frac{1}{\alpha}$$

2. 定義 (38) より明らか。

3. $n=0$ では成立し、$n-1$ まで成立するとすると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\sum_{k=0}^n(-1)^k\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha\!... ...gin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$

となって $n$ でも成立する。

4. 以後、 $J(t;n,\alpha)=(1-t)^{\alpha-1}-S(t;n,\alpha)$ と 書くことにする。

$$\begin{eqnarray*}\left\{(1-t)^{\alpha}\right\}' &=& -\alpha(1-t)^{\alpha-1}, ... ...\end{array}\right)\alpha t^{k-1} \\ &=& -\alpha S(t;n,\alpha) \end{eqnarray*}$$

より $(J(t;n+1,\alpha+1))' = -\alpha J(t;n,\alpha)$ となるので、 部分積分により、

	$$I_7(n,\alpha)$$	$=$	$$\int_0^1\frac{J(t;n,\alpha)}{t^{n+1}}dt$$
		$=$	$$-\frac{1}{\alpha}\left[\frac{J(t;n+1,\alpha+1)}{t^{n+1}}\right]_0^1 -\frac{n+1}{\alpha}\int_0^1\frac{J(t;n+1,\alpha+1)}{t^{n+2}}dt$$
		$=$	$$-\frac{1}{\alpha}J(1;n+1,\alpha+1) -\frac{n+1}{\alpha}I_7(n+1,\alpha+1)$$	(49)

となるが、3. より

$$J(1;n+1,\alpha+1) = -\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k\left(\begin{array}{c... ...)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n+1\!\! \end{array}\right)$$

となり、また、

$$\begin{eqnarray*}(1-t)^\alpha &=& (1-t)^{\alpha-1}-t(1-t)^{\alpha-1}, \\ S(... ...nd{array}\right)t^{k-1} \\ &=& S(t;n+1,\alpha)-tS(t;n,\alpha) \end{eqnarray*}$$

より

$$J(t;n+1,\alpha+1)=J(t;n+1,\alpha)-tJ(t;n,\alpha)$$

となり、よって

$$\begin{eqnarray*}I_7(n+1,\alpha+1) &=& \int_0^1\left\{\frac{J(t;n+1,\alpha)}{t... ...pha)}{t^{n+1}}\right\}dt \\ &=& I_7(n+1,\alpha)-I_7(n,\alpha) \end{eqnarray*}$$

となるので、(49) は

$$I_7(n,\alpha) = \frac{1}{\alpha}(-1)^{n+1}\left(\begin{array}{c... ...+1\!\! \end{array}\right) -\frac{n+1}{\alpha}(I_7(n+1,\alpha)-I_7(n,\alpha))$$

となり、ここから $I_7$ に関する漸化式

  $$I_7(n+1,\alpha) = \left(1-\,\frac{\alpha}{n+1}\right)I_7(n,\alph... ...+1}\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n+1\!\! \end{array}\right)$$ (50)

が得られる。$I_7(0,\alpha)$ は、

$$I_7(0,\alpha) =\int_0^1 \frac{J(t;0,\alpha)}{t}dt =\int_0^1 \frac{(1-t)^{\alpha-1}-1}{t}dt = M(\alpha)$$

であり、

$$\begin{eqnarray*}(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \en... ...}\right) \ =\ \prod_{k=1}^n\left(1-\,\frac{\alpha}{k}\right) \end{eqnarray*}$$

に注意すると、(50) より $I_7(n,\alpha)$ は、

$$\begin{eqnarray*}I_7(1,\alpha) &=& (1-\alpha)I_7(0,\alpha)-(\alpha-1) = (1-\a... ...!\!2\!\! \end{array}\right)\left(M(\alpha)+1+\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

等となり、これを繰り返せば結局

$$I_7(n,\alpha) = (-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)\left(M(\alpha) +\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)$$

となることがわかり、また 1., 2. より、

$$M(n+1)=M(1)-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$$

となるから 4. が得られる。

なお、この補題 4 の 1. により、$H_{-}$ と同様に、 非整数の $\alpha$ であれば、 $\alpha<0$ に対しても

$$M(\alpha)=M(\alpha+1)+\frac{1}{\alpha}$$

により $M(\alpha)$ を拡張できることになり、以後そのように考える。

この補題 4 の 4. と (47) により、 結局 $H_{+}$ は、

	$${ H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n) \ =\ \sum_{j=1}^n\... ...} \!\!\beta+n-1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)}\frac{1}{\varepsilon ^j} }$$
			$$+(-1)^{n+1}\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! ... ...}}{j}\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha)+M(\beta+n)-M(n+1)) + o(1)$$	(51)

となるが、この定数部分は $M$ の拡張を用いれば、 さらに少しまとめられることを以下に示す。

補題 5

非整数の $\alpha$、および自然数 $n$ に対し、

  $$(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end... ...{j}\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n-j\!\! \end{array}\right)$$ (52)

が成り立つ。

証明

補題 4 の 1. より

$$M(\alpha)-M(\alpha-n) = -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha-k}$$

となるので、

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha-k} =\sum_{j=1}^{n}\frac{(-1)^{j-1}... ...yle \left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)}$$

を示せばよい。さらに、

$$\frac{\displaystyle \left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \... ...\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-n+j-1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)}$$

と書けるので、

  $$\sum_{j=1}^{n} \frac{\displaystyle (-1)^{j-1}\left(\begin{array... ...n+j-1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha-k}$$ (53)

を示せばよい。 $n=1$ のときは、(53) の左辺は $1/(\alpha-1)$ と なるので成立する。

$n\geq 2$ とし、$n-1$ までは (53) が成立するとする。 このとき、(53) の左辺を $D_1$ とし、 分子を 2 つに分けて

$$\begin{eqnarray*}D_1 &=& \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1}\,\frac{\displaystyle \left... ...in{array}{c} \!\!n-1\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)D_2(k) \end{eqnarray*}$$

とすると、$D_2(k)$ は、

$$\begin{eqnarray*}D_2(k) &=& -\,\frac{1}{\displaystyle (k+1)\left(\begin{array}... ...{array}{c} \!\!\alpha-n+k\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)} \end{eqnarray*}$$

となるので、よって、

$$D_1 = \frac{1}{\alpha-n} +\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\frac{\disp... ... k\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-n+k\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)}$$

となる。この右辺の和の部分は、 (53) の左辺の $n-1$ の式に等しいので、 帰納法の仮定により、

$$D_1 = \frac{1}{\alpha-n} + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\alpha-k} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\alpha-k}$$

となって、$n$ のときにも (53) が成り立つ。

この補題 5 により、$H_{+}$ の $x=1+\varepsilon$ に関する 展開式 (51) は結局以下のようになる。

	$${H_{+}(1+\varepsilon ;\alpha,\beta,-\beta-n)}$$
		$=$	$$\sum_{j=1}^n\frac{(-1)^{n-j}}{j}\frac{\displaystyle \left(\begin{... ...egin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)\log\varepsilon$$
			$$+(-1)^n\left(\begin{array}{c} \!\!\alpha-1\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right)(M(\alpha-n)+M(\beta+n)-M(n+1)) + o(1)$$	(54)
			$$(\alpha>0,\ \beta>0,\ n\geq 0,\ \alpha,\beta\not\in\mbox{\boldmath$Z$}, n\in\mbox{\boldmath$Z$})$$

なお、これは (43) の $n=0$ の式も 含んでいることに注意する。