2.4 Riemann 問題の解の評価

後で必要となる、Riemann 問題の解の評価をここで行っておく。

今、 $T(\varepsilon ; U)=T(\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _N; U)$ を、

$$T(\varepsilon ; U) = \hat{U}_N(\varepsilon _N; \hat{U}_{N-1}(\varepsilon _{N-1};\cdots (\hat{U}_1(\varepsilon _1;U))\cdots))$$

と書くこととすれば、Riemann 問題は、

$$T(\varepsilon ;U_L)=U_R$$ (2.14)

を満たす $\varepsilon = {}^T\!(\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _N)$ を求めることに帰着される。それは陰関数定理によるのであるが、 $T(0;U)=U$ であり、また $\nabla_\varepsilon T(0;U)$ は、

$$\left.\frac{\partial}{\partial \varepsilon _j}T(\varepsilon ;U)\right\vert _{\varepsilon =0} = \lim_{\varepsilon _j\rightarrow 0} \frac{T(0,\cdots,\varepsilon _j,\cdots,0;U)-T(0;U)}{\varepsilon _j}$$

$$= \lim_{\varepsilon _j\rightarrow 0} \frac{\hat{U}_j(\varepsilon _j... ...= \frac{\partial \hat{U}_j}{\partial \varepsilon _j}(0;U) %\ &=& = r_j(U)$$

より、

$$\left.\nabla_\varepsilon \{T(\varepsilon ;U_L)-U_R\} \right\... ...psilon =0,U_L=U_R=\bar{U}} =[r_1(\bar{U}),\ldots,r_N(\bar{U})]$$

となる。この右辺は正則行列だから、陰関数定理により 方程式 (2.12) を $\bar{U}\in\Omega$ の近傍で $\varepsilon$ について解くことができる。 具体的には、ある正数 $\hat{\delta}_1>0$ が存在して、

$$\vert U_L-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1,\hspace{1zw} \vert U_R-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$$

に対して、 (2.12) を

$$\varepsilon =\alpha(U_L,U_R)$$

の形に書き表すことができる。これは $C^2$ 級であり、 $\alpha(U,U)=0$ を満たす。 必要なら、 $\hat{\delta}_1$ を少し小さく取って、

$$\sup_{U_L,U_R\in B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})} (\vert\nab... ...(U_L,U_R)\vert+\vert\nabla_{U_R}\alpha(U_L,U_R)\vert) \leq M_1$$ (2.15)

とすることもできる。

$$\begin{eqnarray*}\varepsilon &=& \alpha(U_L,U_R) = \alpha(U_L,U_R)-\alpha(U... ...\nabla_{U_R}\alpha(U_L,U_L+\theta(U_R-U_L))\cdot (U_R-U_L)d\theta\end{eqnarray*}$$

であるから、(2.13) より、 $\vert U_L-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$, $\vert U_R-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$ に対して

$$\vert\varepsilon \vert=\vert\alpha(U_L,U_R)\vert\leq M_1\vert U_R-U_L\vert$$ (2.16)

と、 $\vert\varepsilon \vert$ を $\vert U_R-U_L\vert$ で評価できる。

逆に、 $U_R=T(\varepsilon ;U_L)$ を考えると、ある $\hat{\delta}_2>0$ を取って

$$\sup_{\vert\varepsilon \vert<\hat{\delta}_2,U_L\in B_{\hat{... ...} \vert\nabla_{\varepsilon }T(\varepsilon ;U_L)\vert \leq M_2$$ (2.17)

とできるので、

$$U_R-U_L = T(\varepsilon ;U_L)-T(0;U_L) = \int_0^1\nabla_\varepsilon T(\theta\varepsilon ;U_L)\cdot\varepsilon d\theta$$

より、 $\vert\varepsilon \vert<\hat{\delta}_2$, $\vert U_L-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$ に対して

$$\vert U_R-U_L\vert=\vert T(\varepsilon ;U_L)-U_L\vert\leq M_2\vert\varepsilon \vert$$ (2.18)

となる。

しかし、 $U_L,U_R\in B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})$ でも、 Riemann 問題の解 (の途中の値) は $B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})$ の中に収まるとは限らない。 解の途中の値は、

$$\tilde{\varepsilon }= {}^T\!(\varepsilon _1,\ldots,\varepsi... ...heta\varepsilon _j,0,\ldots,0) \hspace{1zw}(0\leq\theta\leq 1)$$

に対して

$$\tilde{U}=T(\tilde{\varepsilon };U_L)$$

と表すことができる²。 このとき、(2.14), (2.16) により、

$$\begin{eqnarray*}\vert\tilde{U}-\hat{U}\vert &\leq& \vert T(\tilde{\varepsilon... ...& (1+M_1M_2)\vert U_L-\bar{U}\vert+M_1M_2\vert U_R-\bar{U}\vert \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$(1+2M_1M_2)\hat{\delta}_3\leq\hat{\delta}_1$$ (2.19)

となる $\hat{\delta}_3$ を取れば、 $U_L,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U})$ に対し 途中の解の値 $\tilde{U}=T(\tilde{\varepsilon };U_L)$ は すべて $B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})$ に収まることになる。 よって、その途中の値を初期値とするような Riemann 問題を再び解くことが できることになる。

しかし、今度はその解が $B_{\hat{\delta}_{1}}(\bar{U})$ に収まる保証はないので、 これを繰り返していくには (実際に Glimm の差分ではそのようなことを繰り返すのであるが)、 このような局所的な逐次評価だけでは無理で、 より大域的な評価、アプリオリな評価が必要になる。

また、 $U_R=T(\varepsilon ;U_L)$ は $\vert U_L-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$, $\vert\varepsilon \vert<\hat{\delta}_2$ のとき、 $\vert U_R-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$ であるとは限らないので、 $\hat{\delta}_2$ を少し小さくして、

$$\vert U_L-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_3,\hspace{1zw} \vert\var... ...{U}\vert=\vert T(\varepsilon ;U_L)-\bar{U}\vert<\hat{\delta}_1$$

が成り立つようにしておく。これは (2.16) より、

$$\vert U_R-\bar{U}\vert \leq \vert U_R-U_L\vert+\vert U_L-\bar{U}\vert < M_2\vert\varepsilon \vert+\hat{\delta}_3$$

であるので、例えば

$$0<\hat{\delta}_2\leq\frac{\hat{\delta}_1-\hat{\delta}_3}{M_2}$$ (2.20)

としておけば可能である。

さらに、

$$U_L,U_R\in B_{\hat{\delta}_{3}}(\bar{U})\hspace{1zw}\Rightar... ...vert\varepsilon \vert=\vert\alpha(U_L,U_R)\vert<\hat{\delta}_2$$

となるように $\hat{\delta}_3$ を取ることにする。 これは、(2.14) より、

$$\vert\varepsilon \vert \leq M_1\vert U_R-U_L\vert \leq M_1(\vert U_R-\bar{U}\vert+\vert U_L-\bar{U}\vert) <2M_1\hat{\delta}_3$$

であるから、

$$2M_1\hat{\delta}_3\leq\hat{\delta}_2$$ (2.21)

であればよい。

ここで、 (2.18) と (2.19) とから自然に (2.17) が導かれるので、 結局 $\hat{\delta}_2$, $\hat{\delta}_3$ は (2.18) と (2.19) とを満たすように取ればよいことがわかる。