3 円錐を斜めに切った錐体

まず、簡単な例として、円錐を斜めに切ってできる錐体を考えることにする (図 2)。 これは、底面が楕円になることが知られている ([2] 参照)。

図 2: 円錐を斜めに切った錐体

頂点が $\mathrm{P}(0,0,h)$ ($h>0$) で中心軸が $z$ 軸、 $xy$ 平面との交円が

$$x^2+y^2\leq a^2\hspace{1zw}(a>0), \hspace{1zw}z=0$$

となる、下に無限に伸びる円錐に対し、 この円錐を、原点を通って法線ベクトルが

$$\mbox{\boldmath$n$}=(\cos\alpha,0,\sin\alpha)\hspace{1zw}\left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$$

である平面 $H$ で切り出した錐体の側面の展開図を求める。

ここで、 $\mbox{\boldmath$n$}$ は $xz$ 平面上にある、 $x$ 軸となす角が $\alpha$ のベクトルであり、 この円錐の中心軸 ($z$ 軸) と母線のなす角を $\beta$ とすると (図 3)、

$$\tan\beta = \frac{a}{h}$$ (1)

であるから、$\alpha$ は

$$0<\beta<\alpha$$ (2)

を満たす必要がある。

図 3: $\alpha$ と $\beta$

なお、 $0<\alpha\leq\beta$ の場合は 円錐の側面と $H$ との交曲線は無限に伸びてしまうが、 $\alpha=\beta$ の場合はそれは放物線に、 $0<\alpha<\beta$ の場合はそれは双曲線になることが知られている。

今、$xy$ 平面上の円周 $x^2+y^2=a^2$ 上の点を

$$\mathrm{R}=\mathrm{R}(t): (a\cos t,a\sin t,0)\hspace{1zw}(0\leq t\leq 2\pi)$$

とパラメータ表示し、直線 $\mathrm{OR}$ と $H$ との交点を $\mathrm {Q}$ とすると (図 (4)、 $\mathrm {Q}$ が $t$ で表されることになる。 この場合は、$t$ と展開図の中心角との間に比例関係があるので、 展開図を式で表すのは難しくない。

図 4: $\mathrm {P}$ と $\mathrm {Q}$
図 5: 側面の展開図

この円錐の側面を線分 $\mathrm{PQ}(0)$ (最長の母線) で切り開いて、 その展開図の中心角 $\angle \mathrm{Q}(0)\mathrm{PQ}(t)$ を $\theta$ とすると (図 5)、 $\angle \mathrm{R}(0)\mathrm{PR}(t)=\theta$ であり、 $\mathrm{PR}(t)=\sqrt{a^2+h^2}$ なので、 弧 $\mathrm{R}(0)\mathrm{R}(t)$ の長さは 展開図では $\sqrt{a^2+h^2} \theta$ となる。 一方、$xy$ 平面では $\mathrm{R}(0)\mathrm{R}(t)$ は半径 $a$ の円弧であるから、 弧 $\mathrm{R}(0)\mathrm{R}(t)$ の長さは $at$ となる。 よって、

$$t=\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a} \theta$$ (3)

と、$t$, $\theta$ が比例関係になることがわかる。

後は $\mathrm{PQ}(t)$ の長さ $\rho(t)$ を求めれば、(3) より、 曲線 $C$ の展開図での形は

$$r =\rho(t) =\rho\left(\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a} \theta\ri... ...e{1zw}\left(0\leq\theta\leq\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2+h^2}}\right)$$ (4)

と極座標で表現されることになる。

今、

$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s\overrightarrow{\mathrm{PR}} =(0,0,h)+s(a\cos t,a\sin t,-h)$$

とすると、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp\mbox{\boldmath$n$}$ より、

$$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\mbox{\boldmath$n$} &=& \{(0... ...lpha) \ &=& h\sin\alpha+s(a\cos t\cos\alpha-h\sin\alpha) = 0\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$s=\frac{h\sin\alpha}{h\sin\alpha-a\cos t\cos\alpha} =\frac{h\tan\alpha}{h\tan\alpha-a\cos t}$$ (5)

となる。なお、(1), (2) より、

$$h\tan\alpha > h\tan\beta = a$$

なので、(5) の分母は

$$h\tan\alpha -a\cos t\geq h\tan\alpha-a >0$$

である。

(5) より、

$$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{PR}} =\frac{h\tan\alpha}{h\tan\alpha-a\cos t} (a\cos t,a\sin t,-h)$$ (6)

となるから、

$$\rho(t)=\vert\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\vert =\frac{h\tan\alpha}{h\tan\alpha-a\cos t} \sqrt{a^2+h^2}$$

となる。よって、(4) より、

$$r=r(\theta) =\frac{h\sqrt{a^2+h^2} \tan\alpha}{% h\tan\alp... ...{1zw}\left(0\leq\theta\leq\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2+h^2}}\right)$$

と側面の展開図が極座標表示できることになる。

例えば $\alpha=\pi/4$, $h=\sqrt{3}$, $a=1$ ($\beta=\pi/6$) とすると、

$$r=r(\theta)=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\cos 2\theta}\hspace{1zw} (0\leq\theta\leq\pi)$$

となる。