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5 曲面積を求める公式: その 1

この節では、2 節で述べた方針 2. に 従って、曲面積 $S$ を表す式を求める。

$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(at\cos\theta+(1-t)p,bt\sin\theta+(1-t)q,(1-t)h) \hspace{1zw}(0\leq\theta <2\pi,\ 0\leq t\leq 1)$$

であるので、これを曲面積の公式

$$S=\int\!\!\!\int _D\left\vert\frac{\partial\overrightarrow{\... ...rrightarrow{\mathrm{OR}}}{\partial\theta}\right\vert dtd\theta$$

に代入する。

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial\overrightarrow{\mathrm{OR}}}{\partial t} \times... ... & = & t(hb\cos\theta,ha\sin\theta,ab-pb\cos\theta-qa\sin\theta)\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}\left\vert\frac{\partial\overrightarrow{\mathrm{OR}}}{\partial ... ...\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta) +(ab-pb\cos\theta-qa\sin\theta)^2}\end{eqnarray*}$$

となり、 $D=\{(t,\theta);\ 0\leq t\leq 1,\ 0\leq\theta< 2\pi\}$ より

$$S = \int_0^1tdt\int_0^{2\pi}\sqrt{h^2(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta) +(ab-pb\cos\theta-qa\sin\theta)^2}\, d\theta$$

$$= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sqrt{h^2(a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta) +(ab-pb\cos\theta-qa\sin\theta)^2}\, d\theta$$ (17)

となる。