4 参加料の期待値

まず、参加料の期待値である $A^-_N$ を求める。

$B^-_N$ は、$A^-_N$ のうち $N$ 回目が表で終わっているものに対する和で、 それをさらに以下のように分割する。

• $C_0$: 最初の $(N-1)$ 回が裏で、$N$ 回目が表
• $C_k$: $k$ 回目が表で、$(k+1)$ 回目から $(N-1)$ 回目までが裏で、 $N$ 回目が表 ( $k=1,2,\ldots, N-1$)

例えば表 1 の $N=3$ の例で言えば、 $B^-_3$ は回数 3 の 4 通りのものに対応し、 それは上から順に $C_0$, $C_1$, $C_2$, $C_2$ と分類されることになる。 なおこれは、最後の表を裏と見れば、 回数が 2 以下の分類に等しいことがわかるだろう。

各 $C_k$ の最初の $k$ 回は、表で終わる $k$ 回の任意の並びだから 丁度 $B^-_k$ と同じ状況で、 その後賭け 1 回分 (確率は $(1-p)^{N-1-k}p$) だけを その中のすべての事象に追加することになる。 $B^-_k$ に含まれる事象の確率の総和は $p$ ($k$ 回目が表で $(k-1)$ 回目までは任意) なので、 結局 $C_k$ に対応する $B^-_N$ の部分の和は

$$(B^-_k+cp)(1-p)^{N-1-k}p$$

に等しいことがわかる。$C_0$ は賭け 1 回分だけで 確率は $(1-p)^{N-1}p$ だから、

$$c(1-p)^{N-1}p$$

となる。よって、$B^-_N$ は、漸化式

$$B^-_N = c(1-p)^{N-1}p + \sum_{k=1}^{N-1}(B^-_k+cp)(1-p)^{N-1-k}p \hspace{1zw}(N\geq 2)$$ (2)

を満たすことになる。ここから $B^-_N$ を求めてみよう。

$N\geq 3$ に対し、 $B^-_N-(1-p)B^-_{N-1}$ を考えると、 (2) より

$$(1-p)B^-_{N-1} = c(1-p)^{N-1}p + \sum_{k=1}^{N-2}(B^-_k+cp)(1-p)^{N-1-k}p$$

なので、

$$B^-_N - (1-p)B^-_{N-1} = (B^-_{N-1}+cp)p$$

となることがわかり、よって、

$$B^-_N = (1-p)B^-_{N-1} + (B^-_{N-1} + cp)p = B^-_{N-1} + cp^2$$

となるので、$B^-_N$ は $N\geq 2$ では公差 $cp^2$ の等差数列となる。 $B^-_2$ は、(1), (2) より、

$$B^-_2 = cp(1-p) + (B^-_1+cp)p = B^-_1p + cp = cp + cp^2 = B^-_1 + cp^2$$

なので、ここも同じ公差であり、結局

$$B^-_N = cp + (N-1)cp^2\hspace{1zw}(N\geq 1)$$ (3)

となることがわかる。

$A^-_N$ は、$B^-_N$ に $N$ 回目が裏のものを追加すればよいが、 その追加分は $C_0$, $C_k$ の $N$ 回目を裏にしたものだから、 賭けの回数は同じで確率だけが最後の 1 回分変わる。よって、

$$A^-_N = B^-_N + c(1-p)^N + \sum_{k=1}^{N-1}(B^-_k+cp)(1-p)^{N-k}$$

となることがわかる。 (2) より、和の部分を $B^-_N$ で表せば、

$$A^-_N = B^-_N + c(1-p)^N + \frac{1-p}{p}(B^-_N-c(1-p)^{N-1}p) = B^-_N + \frac{1-p}{p}B^-_N = \frac{1}{p}B^-_N$$

となるので、結局 (3) より

$$A^-_N = c + (N-1)cp\hspace{1zw}(N\geq 1)$$ (4)

と表されることになる。

なお、上では「最後に」1 回追加する形で漸化式を考えたのでだいぶ複雑になったが、 「先頭に」1 回追加すると考えればむしろやさしくなる。 1 回目に裏が出れば、参加回数はその後の $(N-1)$ 回の参加回数と同じで、 1 回目に表が出れば、参加回数は 1 回増えることになるので、 $A^-_N$ と $A^-_{N-1}$ の差は $cp$ となり、 よって (1) より (4) が得られることになる。