3 あたるか N 回までやり続ける場合

次は、2. の、あたるか $N$ 回までやり続ける場合を考える。

この場合の期待値 $E_2$ は、(2) に代わり $N$ 回目までの有限和となるが、 $N$ 回目がはずれた場合の項も追加される。よって $E_2$ は、

$$E_2 = pA +qp(A-B)+q^2p(A-2B)+\cdots +q^{N-1}p\{A-(N-1)B\}$$

$${}+q^N(-NB)$$

$$= \sum_{n=0}^{N-1} q^n p(A-nB)-Nq^N B$$ (6)

となる。今、

$$S_2 = \sum_{n=0}^{N-1} q^n (A-nB)$$

$$= A +q(A-B)+q^2(A-2B)+\cdots +q^{N-1}\{A-(N-1)B\}$$ (7)

とすると、

$$E_2 = pS_2 - Nq^NB$$ (8)

であり、(7) の両辺を $q$ 倍すると、

$$qS_2 = qA +q^2(A-B)+q^3(A-2B)+\cdots +q^N\{A-(N-1)B\}$$ (9)

となるので、(7), (9) の差を取れば、

$$\begin{eqnarray*}(1-q)S_2 &=& A-qB-q^2B-\cdots -q^{N-1}B-q^N\{A-(N-1)B\} ... ...^{N-1}B-q^NB-q^NA+Nq^NB &=& A-qB\frac{1-q^N}{1-q}-q^NA+Nq^NB\end{eqnarray*}$$

となる。よって、

$$\begin{eqnarray*}pS_2 &=& (1-q^N)A-(1-q^N)\frac{qB}{p}+Nq^NB &=& (1-q^N)\left(A-\frac{qB}{p}\right)+Nq^NB \end{eqnarray*}$$

となるので、(8) より

$$E_2= (1-q^N)\left(A-\frac{qB}{p}\right) = \frac{1-q^N}{p}E_0$$ (10)

が得られる。