2 あたるまでひたすらやり続ける場合

今、はずれる確率を $q$ ($=1-p$) とすると、 このくじを 1 回行ったときの期待値 $E_0$ は、

$$E_0=pA+q(-B)=pA-qB$$ (1)

である。

まずは、1. の、あたるまでひたすらやり続ける場合を考える。

1 回目であたる確率は $p$ で、そのときは $A$ 円もらえる。 1 回目ではずれて、2 回目であたる確率は $q\times p$ で、 そのときは $(-B+A)$ 円もらえる。 同様にして、1 回目から $n$ 回目まではずれて、 $(n+1)$ 回目であたる確率は $q^np$, そのときは $(-nB+A)$ 円もらえる。

よって、この場合の期待値 $E_1$ は、

$$E_1 =pA + qp(-B+A) + \cdots + q^np(-nB+A) +\cdots =\sum_{n=0}^\infty q^np(A-nB)$$ (2)

となる。 これは、容易にわかるように、$q<1$ (すなわち $p>0$) ならば収束する 無限級数である。

今、

$$S_1 =\sum_{n=0}^\infty q^n(A-nB) =A+q(A-B)+q^2(A-2B)+q^3(A-3B)+\cdots$$ (3)

とすると $E_1=pS_1$ であり、(3) の両辺を $q$ 倍すると、

$$qS_1=qA+q^2(A-B)+q^3(A-2B)+\cdots$$ (4)

となるので、(3) から (4) を引き算すれば、

$$(1-q)S_1 =A-qB-q^2B-q^3B-\cdots =A-\frac{qB}{1-q}$$

を得る ($0<q<1$)。ここで、$1-q=p$ であるから、

$$pS_1=A-\frac{qB}{p}=\frac{pA-qB}{p}=\frac{E_0}{p}$$

となり、よって

$$E_1=pS_1=\frac{E_0}{p}$$ (5)

となる。