5 相互力の消去
次に、ニュートンの運動方程式 (3) と
回転の方程式 (6) から
を消去する。
(3) より、
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$T$}_{j-1} - \mbox{\boldmath$T$}_j = -m_j(\d...
...h$r$}}_j + g\mbox{\boldmath$e$}_y)
\hspace{1zw}(1\leq j\leq n)\end{displaymath}](img54.png) |
(7) |
となるが、これを
から
まで加えると、
より
となるので、よって
は
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$T$}_{k}
= -\sum_{j=k+1}^n m_j(\ddot{\mbox{...
...h$r$}}_j+g\mbox{\boldmath$e$}_y)
\hspace{1zw}(0\leq k\leq n-1)\end{displaymath}](img59.png) |
(8) |
と表される。そして、これにより
となり、これを (6) に代入すれば
が
消去できることになる。
その前に式 (9) を
を用いて
表しておく。そのために、
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$r$}_j = \sum_{k=1}^na_{jk}\mbox{\boldmath$p$}(\theta_k)
\hspace{1zw}(1\leq j\leq n)\end{displaymath}](img65.png) |
(10) |
と書くことにする。(2) より、この
は
![\begin{displaymath}
a_{jk} =
\left\{\begin{array}{ll}
l_k & (k<j)\\
\displaystyle \frac{l_j}{2} & (k=j)\\
0 & (k>j)
\end{array}\right.\end{displaymath}](img67.png) |
(11) |
となる。また、
![\begin{displaymath}
L_j = \frac{l_j}{2} + \sum_{i=j+1}^n l_m
\hspace{1zw}(1\leq j\leq n)\end{displaymath}](img68.png) |
(12) |
とすれば、(9) の右辺 2 項目の係数は
![\begin{displaymath}
m_j+2\sum_{i=j+1}^n m_i
= \rho\left(l_j+2\sum_{i=j+1}^n l_i\right)
= 2\rho L_j\end{displaymath}](img69.png) |
(13) |
と書ける。
(9) の右辺 1 項目の部分は、(10) により、
の形となるが、
は
であり、
のときは (11) より
のときは、
のときは、
となり、よって、
![\begin{displaymath}
b_{jk} = \
\left\{\begin{array}{ll}
2\rho L_j l_k & (k...
...}=\
2\rho\left(L_{j\vee k}-\frac{l_j}{4}\delta_{jk}\right)l_k\end{displaymath}](img80.png) |
(15) |
となる。ここで、
,
(
),
とする。
(15), および (13) により、
(9) は、
![\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$T$}_{j}+\mbox{\boldmath$T$}_{j-1}
=\
...
...box{\boldmath$p$}}(\theta_k)
-2\rho L_jg\mbox{\boldmath$e$}_y \end{displaymath}](img85.png) |
(16) |
となる。ここで、
であり、
なので、(16) より (6) は、
となり、これを
で割れば、
![$\displaystyle {\frac{l_j^2}{12}\ddot{\theta}_j
+\sum_{k=1}^n
\left(L_{j\vee k}-...
...{\theta_k}\cos(\theta_j-\theta_k)
+(\dot{\theta_k})^2\sin(\theta_j-\theta_k)\}}$](img89.png) |
|
|
![$\displaystyle \mbox{}+L_j g\sin\theta_j = 0$](img90.png) |
(17) |
となるが、この式の
の微分の項をみると、
であり、また (17) の
の
係数は 0 になるので、結局 (17) は
![\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^n
\left(L_{j\vee k}-\frac{l_j}{6}\delta_{jk}\ri...
...t{\theta_k})^2\sin(\theta_j-\theta_k)\}
+L_j g\sin\theta_j = 0\end{displaymath}](img93.png) |
(18) |
と書くことができる。
これが、陽ではないが、
に対する 2 階の連立常微分方程式となる。
例えば、
(
)、
すなわちすべての
の長さが等しい場合は、
なので、この場合で
のときに方程式を書き下すと、
![\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{4\ddot{\theta...
...eta_2}}{3}
+\frac{g}{2l}\sin\theta_2
&=0
\end{array}\right.\end{displaymath}](img98.png) |
(19) |
となる。
最後に、(18) を行列の形で書いておく。
簡単のため、
![\begin{displaymath}
\alpha_{jk}
=
\alpha_{jk}(l_1,\ldots,l_n)
=
L_{j\vee k}-\frac{l_j}{6}\delta_{jk}\end{displaymath}](img99.png) |
(20) |
と書くことにすると、
![\begin{displaymath}
A(\theta) = \left[\rule[-0.5zh]{0pt}{2zh}\
l_k\alpha_{jk}...
...t}{2zh}\
l_k\alpha_{jk}\sin(\theta_j-\theta_k) \right]_{j,k}\end{displaymath}](img100.png) |
(21) |
に対して、(18) は
![\begin{displaymath}
A(\theta)
\left[\begin{array}{c}\ddot{\theta_1} \vdots\\...
..._1\sin\theta_1 \vdots L_n\sin\theta_n\end{array}\right]
=0\end{displaymath}](img101.png) |
(22) |
の形となる。
なお、
なので、
(
) の場合は、
は対称行列、
は交代行列となる。
竹野茂治@新潟工科大学
2018-11-12