3.3 極座標の微分とベクトルによる表現

今、

$$\nabla_{(x,y,z)}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\pa... ...artial}{\partial \phi},\frac{\partial}{\partial \theta}\right)$$

と書くことにすると、命題 1 により、 $g_r$, $g_\phi$, $g_\theta$ はベクトル、 および行列の積を用いて以下のように書ける。

$$\begin{eqnarray*}\frac{\partial g}{\partial r} &=& \frac{\partial f}{\partial ... ...{\boldmath$e$}_3 r = \nabla_{(x,y,z)}f\ \mbox{\boldmath$E$}_3 r\end{eqnarray*}$$

よって、

$$\nabla_{(r,\phi,\theta)}g = \nabla_{(x,y,z)}f\left[\mbox{... ...x{\boldmath$E$}_2 r\cos\theta\ \mbox{\boldmath$E$}_3 r \right]$$ (18)

となるが、この最後の行列は、

$$\left[\mbox{\boldmath$E$}_1\ \mbox{\boldmath$E$}_2 r\cos\the... ...n{array}{ccc}1&0&0\\ 0&r\cos\theta&0\\ 0&0&r\end{array}\right]$$

と変形でき、命題 2 より、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{ \left[\mbox{\boldmath$E$}_1\ \mbox{\boldmath$E$}_2 r... ...e$}_2/(r\cos\theta)\\ \mbox{\boldmath$e$}_3/r\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。よって、(18) より、

$$\begin{eqnarray*}\nabla_{(x,y,z)}f &=& \nabla_{(r,\phi,\theta)}g \left[\mbox... ...\frac{\mbox{\boldmath$e$}_3}{r}\frac{\partial g}{\partial \theta}\end{eqnarray*}$$

となる。なおこれは、$f$, $g$ を略して書けば、

$$\nabla_{(x,y,z)} = \mbox{\boldmath$e$}_1\frac{\partial}{\... ...mbox{\boldmath$r$}_\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}$$ (19)

となる。 今後 $f$ と $g$ を区別せず、 この式 (19) のようにこれらを省略した形、 すなわち微分作用素の形で計算を進めることにする。