2.2 合成関数の微分法

3 変数関数の合成関数の微分は次のようになる。


命題 1

$(u,v,w)$ の 3 変数関数 $F(u,v,w)$$u=u(x,y,z)$, $v=v(x,y,z)$, $w=w(x,y,z)$ を代入して得られる $(x,y,z)$ の 3 変数関数

\begin{displaymath}
h=h(x,y,z)=F(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))
\end{displaymath}

$x$, $y$, $z$ で偏微分すると、それぞれ以下のようになる。
\begin{eqnarray*}\frac{\partial h}{\partial x}
&=&
\frac{\partial F}{\partial ...
...l z}+\frac{\partial F}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial z}
\end{eqnarray*}



この命題 1 を用いると、 $x=r\cos\phi\cos\theta$, $y=r\sin\phi\cos\theta$, $z=r\sin\theta$ より、

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{...
...z}{\partial r}
=
f_x\cos\phi\cos\theta + f_y\sin\phi\cos\theta + f_z\sin\theta,$ (2)
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \phi}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \phi}+\fr...
...artial z}{\partial \phi}
=
f_x(-r\sin\phi\cos\theta) + f_y r\cos\phi\cos\theta,$ (3)
$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \theta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta}+\...
...partial \theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle f_x(-r\cos\phi\sin\theta) + f_y(-r\sin\phi\sin\theta) + f_z r\cos\theta$ (4)

が得られる。

竹野茂治@新潟工科大学
2009年2月2日