5 漸近的な様子

さて、$n$ が大きくなると、$(-1/2)^n$ は 0 に収束していくから、 (16), (17) より、 $n\rightarrow\infty$ のときに

$$A_n\rightarrow\alpha, \hspace{1zw}D_n\rightarrow\alpha\hspace{1zw} \left(\alpha=\frac{A_0+2D_0}{3}\right)$$

と収束することがわかる。 $B_n$, $C_n$ は (18) により、

$$B_n\rightarrow\alpha^2,\hspace{1zw} C_n\rightarrow 2\alpha-2\alpha^2$$

のようになる。 これらの極限を $A_\infty=\alpha$ のように書くことにすると、 結局以下のようになる。

$$\left\{\begin{array}{l} A_\infty=\alpha,\\ 1-A_\infty=1-... ...lpha),\\ 1-B_\infty-C_\infty=(1-\alpha)^2 \end{array}\right.$$ (19)

$(-1/2)^n$ は、かなり速く 0 に近づくので、 数世代でほぼ (19) の値になる。 $\alpha$ は、

$$\alpha=\frac{A_0+2D_0}{3}=\frac{A_0+2B_0+C_0}{3}$$ (20)

であり、つまりこの最初の世代の比率で与えられる $\alpha$ の値によって、 安定的な比率 (19) が決定することになる。

なお、 $0\leq B_0\leq 1$, $0\leq C_0\leq 1$, $0\leq B_0+C_0\leq 1$ なので、 $0\leq 2B_0+C_0\leq 2$ (2 になるのは $B_0=1$, $C_0=0$ のとき) であり、 $0\leq A_0\leq 1$ であるから $\alpha$ は 0 から 1 までの値を取り得る。

安定的な比率の式 (19) を見ると、 $\alpha$ は $0\leq \alpha\leq 1$ であるから、

$$A_\infty\geq B_\infty,\hspace{1zw} 1-A_\infty\geq 1-B_\infty-C_\infty$$

は言える。つまり、男性のその性質を持つ割合 $A_\infty$ は、 女性のその性質を持つ割合 $B_\infty$ よりは確かに多くなる。 しかし、その他の大小関係は、 $\alpha$ の値によって色々な上下はありえて、 グラフを書いてみればわかるが、 それらは $\alpha=1/3,1/2,2/3$ でそれぞれ大小が変化する。 例えば $0<\alpha<1/3$ であれば、

$$B_\infty<A_\infty<C_\infty<1-B_\infty-C_\infty<1-A_\infty$$

のようになる。

元々の話の場合は、$\alpha$ が 0 に近い場合であるが、 この場合は $B_\infty$ は 2 次なのでかなり小さくなる。 例えば

$$A_\infty=\alpha=0.02=2\%$$

であったとすると、

$$B_\infty=\alpha^2=0.0004=0.04\%$$

であるから、確かに女性のその性質を持つ割合は、 男性に比べてはるかに小さくなる。 ただし、この場合は

$$C_\infty=2\alpha(1-\alpha)=0.04\times 0.98 = 0.0392=3.92\%$$

となるので、女性のうち潜在的にその因子を持つ割合 $C_\infty$ は、 $A_\infty$ の倍位いることになる。