3 問題設定と問題の変形

まず、問題を明確に設定する。

$x>0$ で定義された連続関数 $f(x)$ で、次の性質を持つものを求めることを 目標とする:

「任意の正数 $A$ に対して、 『すべての $x>0$ に対して (4) を満たす』 ような正数 $k$ ($A$ には依存するが $x$ にはよらない) を取ることができる」

この『』の部分を「条件 I」と呼ぶことにする。

なお、当然 $f(x)\equiv 0$ は常に (4) を満たすが、 ここではそれ以外の関数を考える。

この問題は、このままでも考察できるが、少し変形して考察しやすくする。 まず、

  $$f(x) = xg(x)$$ (5)

とすると、(4) は、

$$kA\,\frac{x}{k}\,g\left(\frac{x}{k}\right) = xg(x)$$

より、

  $$Ag\left(\frac{x}{k}\right)=g(x)$$ (6)

となり、さらに $x>0$, $k>0$ より、

  $$g(x) = h(\log_e x)\hspace{1zw}(h(y)=g(e^y))$$ (7)

とすると、(6) は

$$Ag\left(\frac{x}{k}\right) =Ah\left(\log_e\frac{x}{k}\right) =Ah\left(\log_e x-\log_e k\right) =h(\log_e x)$$

となるので、$p=\log_e k$, $\log_e x-p = y$ とすれば、 「条件 I」は、「すべての実数 $y$ に対して

  $$Ah(y) = h(y+p)$$ (8)

が成り立つこと」に変わる。この条件を「条件 II」と呼ぶことにし、 以後しばらくこの条件 II の形で考える。すなわち、

「任意の正数 $A$ に対して、 条件 II を満たすような実数 $p$ ($A$ には 依存するが $y$ にはよらない) を取ることができる」

ような連続で恒等的には 0 ではない $h(y)$ は何か、 を考えることにする。