4 グリッサンド音
グリッサンド (ポルタメントととも言う) とは、
音程を連続的に変化させる奏法のことを言う。
これは、ピアノ、クラリネット、トランペットのように
中途半端な音を出せない (出しにくい) 楽器では難しいが3、トロンボーンやバイオリンなどでは可能な、特別な奏法である。
例えば、グリッサンドでなく、
半音ずつ音階の音を 秒毎に一定に上げて行くには、
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(3) |
のようにすればよい。
なお、 の中に , ,...のように
残してあるのは、 に関して連続関数にするためのものである。
この (3) の の中の 以外の部分を
(すなわち
) とすると、
この は、折れ線のグラフになる。
図 1:
のグラフ
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しかし、この場合は 秒毎に音程が一つずつ上がっていくだけで、
連続的に音程が変化するグリッサンドにはなっていない。
連続に音程を変化させるには、この折れ線を滑らかなグラフにすればよい。
この関数 を で微分すると、
微分は関数の傾きを意味するから、
そのグラフは図 2 のように階段関数となる。
図 2:
導関数 のグラフ
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このグラフを見るとわかるが、
この導関数 は の音の周波数を表しているようである。
まずこの事実について説明しておく。
今、増加関数 () に対して を
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(4) |
とするとき、この の での周波数を考えてみる。
周波数とは 1 秒あたりの波の数であり、
から
の間での波数は、
であり、よってこれを で割った
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(5) |
が 1 秒あたりの波数、
すなわち のこの 秒間の平均的な周波数となる。
この (5) の式を
としたものが丁度 での周波数となるが、
微分の定義より、その極限は
となる。つまり、 の微分係数 は確かに
の周波数を表すことがわかる。
今、音程の周波数 に対して、
音程と同様に一定に増加する添え字 を音程を数値化したもの、
すなわち下のドを 0、ド を 1 のように見ることにすれば、
なので、
となり、この数値化された音程 と周波数 の間の関係は、
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(6) |
と書けることになる。 は周波数を音程に変える関数、
は逆に音程を周波数に変える関数となる。
最初 () の周波数が で, のときの周波数が であり、
その間一定に音程が変化するような (4) の形の関数を考えてみることにする。
上の考察により の周波数は であるので、
が満たすべき条件は、
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(7) |
および音程 が一定に変化、すなわち直線的に変化することである。
, とすると、 は から にかけて
から に直線的に変化することになるので、
と書けることになる。よって、
より、 は、
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(8) |
となる。ここで、
より、
となるので、結局
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(9) |
と書けることになる。これを積分すれば、
となり、 では定数差は特に意味を持たないので、 とし、
また を と書くことにすれば、
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(10) |
と書けることになる。よって、
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(11) |
が、グリッサンドを生成する関数だということになるが、
もちろん、 の代わりに周期が 1 の別の関数 を使って、
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(12) |
としてもよい。
これは、(11) とは別の音色のグリッサンド関数となる。
竹野茂治@新潟工科大学
2007年8月7日