2 成分計算による証明

まずは、単純な成分計算による証明を紹介する。 以下、成分を $\mbox{\boldmath$A$}=(A_x,A_y,A_z)$ のように書くことにする。

証明 1

$\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$}=\mbox{\boldmath$D$}$ とすると、(1) の左辺は、

$${\mbox{\boldmath$A$}\times(\mbox{\boldmath$B$}\times\mbox{\boldmath$C$})}$$

$$= \mbox{\boldmath$A$}\times\mbox{\boldmath$D$} = (A_yD_z-A_zD_y, A_zD_x-A_xD_z, A_xD_y-A_yD_x)$$

$$= (A_y(B_xC_y-B_yC_x)-A_z(B_zC_x-B_xC_z),$$

$$\ A_z(B_yC_z-B_zC_y)-A_x(B_xC_y-B_yC_x),$$

$$\ A_x(B_zC_x-B_xC_z)-A_y(B_yC_z-B_zC_y))$$ (2)

となる。一方、(1) の右辺は、

$${(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$C$})\mbox{\boldmath$B$}-(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})\mbox{\boldmath$C$}}$$

$$= ((\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$C$})B_x-(\mbox{\boldmat... ...}\cdot\mbox{\boldmath$C$})B_z-(\mbox{\boldmath$A$}\cdot\mbox{\boldmath$B$})C_z)$$

$$= ((A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z)B_x-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)C_x,$$

$$\ (A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z)B_y-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)C_y,$$

$$\ (A_xC_x+A_yC_y+A_zC_z)B_z-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)C_z)$$

$$= (A_y(B_xC_y-B_yC_x)+A_z(B_xC_z-B_zC_x),$$

$$\ A_x(B_yC_x-B_xC_y)+A_z(B_yC_z-B_zC_y),$$

$$\ A_x(B_zC_x-B_xC_z)+A_y(B_zC_y-B_yC_z))$$ (3)

となるので、確かに (2) と (3) は等しい。

見てわかる通り、この証明は左辺と右辺が等しいことの確認にはなっているが、 なぜ (1) が成り立つか、 つまりどのようにして (1) の左辺から (1) の右辺のような式が得られるのか、 ということを示すことにはなっていない。 かろうじて、右辺から左辺なら導けそうな気がする程度である。