3 パラメータ変換による変形
本節では (1) の式を変形して、
それが 2 節で紹介した
内サイクロイドになるかどうかを考えてみる。
今、
![\begin{displaymath}
\mu = \arctan\sqrt{\frac{R^2-Y^2}{k_2^2Y^2-R^2}},
\hspace{1zw}\nu = \arctan k_2\sqrt{\frac{R^2-Y^2}{k_2^2Y^2-R^2}}\end{displaymath}](img45.gif) |
(10) |
とすると、(3) より
![\begin{displaymath}
H(Y) = \mu-\frac{\nu}{k_2}\end{displaymath}](img46.gif) |
(11) |
となる。(10) より
であるから、
となるので、
となることがわかる。
(10) より
,
なので、
よって
![\begin{displaymath}
Y\cos\mu = R\cos\nu\end{displaymath}](img52.gif) |
(12) |
が得られる。同様にして、
より
![\begin{displaymath}
Y\sin\mu = \frac{R}{k_2}\sin\nu\end{displaymath}](img54.gif) |
(13) |
が得られる。
さて、(12), (13) と
(1), (11) により、
となり、結局
![\begin{displaymath}
x
= \frac{R}{2}\left(1+\frac{1}{k_2}\right)\cos\left(1-\fr...
...\left(1-\frac{1}{k_2}\right)\cos\left(1+\frac{1}{k_2}\right)\nu\end{displaymath}](img56.gif) |
(14) |
が得られる。同様に
は、
より、
![\begin{displaymath}
y
= \frac{R}{2}\left(1+\frac{1}{k_2}\right)\sin\left(1-\fr...
...\left(1-\frac{1}{k_2}\right)\sin\left(1+\frac{1}{k_2}\right)\nu\end{displaymath}](img59.gif) |
(15) |
と変形できる。
に対して
であり、よって
であるから、
![\begin{displaymath}
\tau = \left(1-\frac{1}{k_2}\right)\nu\end{displaymath}](img63.gif) |
(16) |
とすると、その範囲は
となる。また、
![\begin{displaymath}
\lambda=\frac{\phi_0}{2\pi}\end{displaymath}](img65.gif) |
(17) |
とすると、
より
で、
となるので、これらにより (14), (15) は
と書け、これは確かに (9) に一致する。
なお、これは (1) の
の
部分であるが、もう半分の
の方は、
(2) により、ここまでと全く同様にして得られる。
以上により、
均質な場合の地中最速降下線 (1), (2), (3) が、
確かに内サイクロイドに等しいことが確かめられたことになる。
そして、その小円の半径と大円の半径の比である
は、
(17) より出発点と終点とが作る中心角
と、
との比に等しいこともわかったことになる。
これは実際に 2 点が与えられたときに
内サイクロイドを用いて具体的な解を求めるのに役に立つだろう。
竹野茂治@新潟工科大学
2017年8月2日