5 オイラー方程式の解

さて、微分方程式 (8) に戻ると、変数分離により、

$$\int\sqrt{\frac{G_1(f)}{k_1^2f^2-G_1(f)}} \frac{df}{f} = \pm\int d\theta$$

となるので、この解は $H(f(\theta))=\pm\theta+C$、すなわち、

$$f(\theta)=H^{-1}(\pm\theta + C)$$

であることがわかる。 よって、これにより $f(0)=f(\phi_0)=R$ となるような解を作るには、 その 2 つのグラフをつながるようにつないで、

$$f(\theta) = \left\{\begin{array}{ll} H^{-1}(\theta) & (0... ...heta) & (H(r_1+0)\leq \theta\leq 2H(r_1+0)) \end{array}\right.$$ (14)

とすればよい (図 4)。

あとは、この右端の $2H(r_1+0)$ が $\phi_0$ となるか、 すなわち $0<\phi_0<\pi$ に対して、

$$H(r_1+0)=\frac{\phi_0}{2}$$ (15)

となるような定数 $k_1$ が常に一つ求まるかどうかを示せばよい。

例えば、均質な (2) の場合には、$H(r_1+0)$ は (11) であったから、 確かに $0<\phi_0<\pi$ である任意の $\phi_0$ に対して $H(r_1+0)=\phi_0/2$ となる $k_2$ ($>1$) がただ一つ求まり、そこから $k_1 = \sqrt{g_0(k_2^2-1)/(2R)}$ により $k_1$ が求まってくれる。

一般の $g(r)$ の場合にも、 次の命題 1 のように同様のことが成り立つことを示せる。

命題 1.

(12) の解 $r_1=r_1(k_1)$ に対し、

$$H(r_1+0) =\int_{r_1}^R \sqrt{\frac{G_1(f)}{k_1^2f^2-G_1(f)}} \frac{df}{f}$$ (16)

を $k_1$ の関数 $h(k_1)$ と見ると、 $h(k_1)$ は $k_1$ に関して増加関数であり、

$$\lim_{k_1\rightarrow +0}{h(k_1)} = 0,$$ (17)

$$\lim_{k_1\rightarrow \infty}{h(k_1)} = \frac{\pi}{2}$$ (18)

となる。

この命題 1 の証明は 8 節で行うが、 これにより $h(k_1)=H(r_1+0)$ が $k_1$ に関して $(0,\infty)$ から $(0,\pi/2)$ への 1 対 1 の関数であることになり、 よって (15) を満たす $k_1$ が任意の $\phi_0$ に 対して一つだけ求まることになる。 そしてそれによる (14) がオイラー方程式の解を与える。